高等代数北大版6-1

§6.1集合映射一、集合二、映射§6.1集合·映射§6.1集合映射一、集合把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；常用大写字母A、B、C等表示集合；当a是集合A的元素时，就说a属于A，记作：；aA当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作：aA1、定义组成集合的这些事物称为集合的元素．用小写字母a、b、c等表示集合的元素．☆§6.1集合映射关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一个描述性的说明．集合论的创始人是19世纪中期德国数学家康托尔（G．Cantor），他把集合描述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果;集合中的那些事物就称为集合的元素．即，集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性.注:§6.1集合映射☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来.例122{(,)4,,}MxyxyxyR例2N＝，{0,1,2,3,}{0,2,4,6,}2Z＝例32{10,}{1,1}MxxxRM＝｛x|x具有性质P｝M＝｛a1，a2，…，an｝§6.1集合映射2、集合间的关系☆如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是A的子集，记作，（读作B包含于A）BABA当且仅当xBxA☆空集：不含任何元素的集合，记为φ．注意：｛φ｝≠φ☆如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称A与B相等，记作A＝B.A＝B当且仅当且ABBA约定：空集是任意集合的子集合.§6.1集合映射3、集合间的运算交：；{}ABxxAxB且并：{}ABxxAxB或显然有，;ABAAAB1、证明等式:．()AABA证：显然，．又，()AABA,xAxAB则∴，()xAAB从而,．()AAAB练习：故等式成立．§6.1集合映射2、已知，AB证明：又因，ABA∴．ABA又因，∴．BABABB,AAB证：1）,,xAABxBxAB此即，因此无论哪一种情况，都有.xB.ABB此即，(1);(2)ABAABB2),xABxAxB或,AB但是§6.1集合映射二、映射设M、M´是给定的两个非空集合，如果有一个对应法则σ，通过这个法则σ对于M中的每一个元素a，都有M´中一个唯一确定的元素a´与它对应,则称σ为称a´为a在映射σ下的象，而a´称为a在映射σ下的M到M´的一个映射，记作:或:'MM'MM原象，记作σ(a)＝a´或:.aa1、定义§6.1集合映射①设映射,集合:'MM称之为M在映射σ下的象，通常记作Imσ．②集合M到M自身的映射称为M的一个变换．Im'M显然，注(){()}MaaM§6.1集合映射例4判断下列M到M´对应法则是否为映射1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3,4｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4（不是）（是）（不是）2）M＝Z，M´＝Z＋，σ：σ(n)＝|n|,nZτ：τ(n)＝|n|＋1,nZ（不是）（是）§6.1集合映射σ：σ(a)＝a0，aM4）M＝P，M´＝，（P为数域）nnPτ：τ(a)＝aE，（E为n级单位矩阵）aP5）M、M´为任意两个非空集合，a0是M´中的一个固定元素.（是）（是）6）M＝M´＝P[x]（P为数域）σ：σ(f(x))＝f´(x)，()[]fxPx（是）3）M＝，M´＝P，（P为数域）nnPσ：σ(A)＝|A|，nnAP（是）§6.1集合映射例5M是一个集合，定义I：I(a)＝a，aM即I把M上的元素映到它自身，I是一个映射，例6任意一个在实数集R上的函数y＝f(x)都是实数集R到自身的映射，即，函数可以看成是称I为M上的恒等映射或单位映射．映射的一个特殊情形．§6.1集合映射2、映射的乘积设映射，:',:'''MMMM乘积定义为：(a)＝τ(σ(a))aM即相继施行σ和τ的结果，是M到M的一个映射．①对于任意映射，有:'MMMMII②设映射:',:''',:'''''MMMMMM，有()().注：§6.1集合映射3、映射的性质:设映射:'MM1）若Im'M，即对于任意'yM，均存在（或称σ为映上的）；2）若M中不同元素的象也不同，即121212,,,()()aaMaaaa若则（或121212,,()(),aaMaaaa若），则称σ是M到M´的一个单射（或称σ为1—1的）；3）若σ既是单射，又是满射，则称σ为双射,xM，使，则称σ是M到M´的一个满射()yx（或称σ为1—1对应）§6.1集合映射例7判断下列映射的性质1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2（既不单射，也不是满射）τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝12）M=Z，M´＝Z＋，τ：τ(n)＝|n|＋1,nZ（是满射，但不是单射）3）M＝nnP，M´＝P，（P为数域）σ：σ(A)＝|A|，nnAP（是满射，但不是单射）（双射）§6.1集合映射4）M＝P，M´＝,nnPP为数域,E为n级单位矩阵τ：τ(a)＝aE，aP（是单射，但不是满射）σ：σ(a)＝a0，aM（既不单射，也不是满射）6）M＝M´＝P[x]，P为数域σ：σ(f(x))＝f´(x)，()[]fxPx（是满射，但不是单射）7）M是一个集合，定义I：I(a)＝a，aM8）M=Z，M´＝2Z，σ：σ(n)＝2n,nZ（双射）（双射）5）M、M´为任意非空集合，为固定元素0aM§6.1集合映射①对于有限集来说，两集合之间存在1—1对应的充要条件是它们所含元素的个数相同；②对于有限集A及其子集B，若B≠A（即B为A的真子集），则A、B之间不可能存在1—1对应；但是对于无限集未必如此.注：如例7中的8），σ是1—1对应，但2Z是Z的真子集．M=Z，M´＝2Z，σ：σ(n)＝2n,nZ§6.1集合映射4、可逆映射定义：设映射:',MM若有映射:',MM使得,MMII则称σ为可逆映射，τ为σ的逆映射，①若σ为可逆映射，则σ－1也为可逆映射，且（σ－1）－1＝σ．注：1().aa则有②:'MM为可逆映射，aM，若()',aaσ的逆映射是由σ唯一确定的记作σ－1．§6.1集合映射③σ为可逆映射的充要条件是σ为1—1对应．证：若映射:'MM为1—1对应，则对'yM均存在唯一的xM，使σ(x)＝y，作对应:MM(),()yxxy这里()(())()(),MxxyxIx则即MI；()(())()(),MyyxyIy则即MI∴σ为可逆映射．则τ是一个M´到M的映射,且对,(),xMxy若,(),yMxx若y=有(y)=§6.1集合映射11,()(())yMyyy对有即,1(),().xyMyx使所以σ为满射.其次，对1212,,()()xxMxx若，则11111112()()(())(())MxIxxxx即σ为单射.所以．σ为1—1对应．1222()()MxIxx反之，设为可逆映射，则:MM§6.1集合映射练习：1.找一个R到R＋的1—1对应．，规定解：xR:2xx则是R到R＋的一个映射.∵若22xy，则21,xyxy，∴是单射．aR又对，存在2logaxR，使2log2(log)2aaa故是1—1对应．∴是满射．§6.1集合映射2、令1:,:,fxxgxxRx，问：1）g是不是R＋到R＋的双射？g是不是f的逆映射？2）g是不是可逆映射？若是的话，求其逆．解：1）g是R＋到自身的双射．∵，若，则，g是单射．,xyR11xyxy并且，即g是满射．11,,()xRRgxxx有使又∵，11()(())()fgxfgxfxx∴，g不是f的逆映射．RfgI事实上，．1ff1gg2）g是可逆映射．§6.1集合映射1111()hgffg:,:fABgBChgf,令3、设映射，证明：1）如果h是单射，那么f也是单射；2）如果h是满射，那么g也是满射；3）如果f、g都是双射，那么h也是双射，并且12()(),fafa但1112()()(())(())hagfagfagfa这与h是单射矛盾，∴f是单射．1212,,,aaAaa且证：1）若f不是单射，则存在22()()gfaha于是有§6.1集合映射()()(())chagfagfa,,()cCaAhac使2）∵h是满射，，即()faB，∴g是满射．又∵3），因为g是满射，存在,使cCbB().gbc又因为f是满射，存在，使aA()fabh是满射．()()(())(),hagfagfagbc∴§6.1集合映射∵若1212,,aaAaa且，由于f是单射，有12()().fafa又因为g是单射，有12(())(())gfagfa即,12()()gfagfa∴12()(),haha因而h是双射．h是单射.1111()()()ChfggffgI又11().AfghI同理111hfg