2013年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考答案及评分标准

1/42013年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题和填空题只设5分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。2．如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。一．选择题（本题满分30分，每小题5分）1．已知集合2{|2100},{|121}AxxxBxmxm．当AB时，实数m的取值范围是（）．(A).24m(B).2m或4m(C).142m(D)．12m或4m1.(B).2．过原点的直线l交双曲线22xy于P、Q两点，其中点P在第二象限，将下半平面沿x轴折起使之与上半平面成直二面角，线段PQ的最短长度是（）．(A).22(B).32(C).42(D)．42.(D)．3．设,,abc均为非零复数，令1322wi，若abcbca，则abcabc的值为（）．(A).1(B).w(C).21,,ww(D)．21,,ww3.(C).4．设()fx是(0,)上的单调函数，且对任意(0,)x，都有2[()log]6ffxx．若0x是方程'()()4fxfx的一个解，且*0(1,)()xaaaN，则a的值为（）．(A).1(B).2(C).3(D)．44.(B)．5．内直径为4323，高为20的圆柱形容器中最多可以放入直径为2的小球的个数是（）．(A).30(B).33(C).36(D)．395.(C)．6．已知实数,xy满足2217()30160xyxy．则22164161269xyxyxy的最大值是（）．(A).7(B).29(C).19(D)．36.(A).二．填空题（本题满分30分，每小题5分）7．若222,2222abababcabc，则2c的最大值是．7.43.8．长方体1111ABCDABCD中，14,3ABAAAD，则异面直线1AD与11BD的距离为．8.63417.9．椭圆22221(0)xyabab的离心率为32，斜率为1且过点(,0)Mb的直线与椭圆交2/4于A、B两点．设O为坐标原点，若32cot5OAOBAOB，则该椭圆的方程是．9.141622yx.10．将11个完全一样的小球放入6个不相同的盒子中，使得至多有3个空盒子的放法有种．10.4212.11．已知函数21,0,()(1)1,0,xxfxfxx设方程()fxx在区间(0,]n内所有实根的和为nS，则数列{1nS}的前n项和=．11.12nn.12．数列{na}中，11221(2)nnnaaannn，则此数列的通项公式na=．12.1(1)(21)nnan.三．解答题13．设关于x的方程210xmx有两个实根,()，函数22()1xmfxx.（1）求()()ff的值；（2）判断()fx在区间(,)的单调性，并加以证明；（3）若,均为正实数，证明：|()()|||ff.13.解:(Ⅰ)∵,是方程210xmx的两个根，∴,1m，∴2222()1()1()mf，∴()1f，同理可得()1f∴()()2ff，………………（5分）（Ⅱ）∵222222(1)2()()()(1)(1)xmxxxfxxx，当(,)x时，()0fx，∴()fx在(,)上单调递增．………………………（10分）（Ⅲ）∵()0，()0，∴∴由（Ⅱ）可知，()()()fff，同理()()()fff，∴|()()||()()|ffff，……………………………（15分）由（Ⅰ）可知，1()f，1()f，1，∴11|()()|||||||ff，3/4∴|()()|||ff．……………………（20分）14.已知数列{na}满足2113,(,nnnaaananN为实数）．（1）若2nan恒成立，求的取值范围；（2）若=-2，求证：121112222naaa．14.解:(Ⅰ)当2n时，由2622a得2，即2nan时，2.…………………………（5分）下面证明当2时，2nan.当2n时，222a成立；设当(2)nkk时，2kak成立；则当1nk时，221()2221(1)21kkkkkaakaaakkkkk，故对所有2n，2nan成立.当1n时，1231a成立，故对所有*Nn，2nan成立.综上，的取值范围是2.……………………………（10分）（Ⅱ）当2时，02244221nnnnnananaaa（2n），1111212121212121nnnnaaa（3n），…………………（15分）12111222naaa211111222n11222n.……………（20分）15．如图，锐角△ABC中，ABAC,且点D和E在边BC上，满足BD=CE.若在△ABC内存在点P满足PD||AE且∠PAB=∠EAC，证明:∠PBA=∠PCA.15.证明:如图,作平行四边形ABFC和平行四边形ABGP，则ACFB，ACEFBD，又BDCE，故AECFDB，………………………（5分）BDFAEC，所以//FDAE，又//PDAE，则P、D、F三点共线.……（10分）因此，BFPBFDEACBAPBGP,故B、G、F、P四点共圆，FBGFPGBAPEAPCAP又由于,APBGACBF,故APCBGF，……（20分）故ABPBPGBFGACP.……（25分）16.设点P为圆2212Cxy：上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q.点满足2MQPQ.（1）求点M的轨迹的方程；（2）过直线2x上的点T作圆C2的两条切线，设切点分别为A、B，若直线AB与（1）中的曲线C2交于两点C、D，求||||CDAB的取值范围.16.解：(Ⅰ)设点()Mxy,，由2MQPQ，得(2)Pxy,，由于点P在2212Cxy：上，DOAMQPCBTyxPEDCBAGF4/4所以2222xy，即M的轨迹方程为2212xy.………………（5分）（Ⅱ）设点(2)Tt,，1122(,)()AxyBxy，,，则AT，BT的方程为112xxyy，222xxyy，又点(2,)Tt在AT、BT上，则有：1122xty①，2222xty②，……………………（10分）由①、②知AB的方程为：22xty，设点1122()()CxyDxy,，,，则圆心O到AB的距离224dt，则222224||224tABrdt；……………………（15分）又由222212xtyxy，得22(8)440tyty，于是12248tyyt，12248yyt，∴2221222428||1||48tttCDyyt，于是2222||(8)2||(4)4ABttCDtt，设24ts，则4s，于是3233||6326321||ABssCDsss，设11(0]4mms，,，于是3||1632||ABmmCD，……………………（20分）设3()1632fmmm，2()696fmm，令()0fm，得14m.，得()fm在1(0]4,上单调递增，故()(12]fm,.，即||||CDAB的范围为2,12.…………………………………………（25分）