假设法解应用题

假设法解应用题课堂导入研究背景：有些应用题按照一般的解题思路不易找到正确的解答方法．题中要求两个或两个以上的未知数量，解题时可以先假设要求的两个或两个以上的未知量相等或先假设要求的一个未知量与题目中的某一已知数量相等，使题意明朗化、简单化．再按照题里的已知条件进行推算，把假定的加以纠正和调整，从而得到正确答案，这就是假设法．因此很有必要学会它的解法和思路．假设法常用于鸡兔同笼问题和盈亏问题当中．假设法的基本公式（1）鸡兔同笼模型鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数−每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数−鸡数兔数=（实际脚数−每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数−每只鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数−兔数（2）盈亏问题模型一盈一亏的解法：（盈数+亏数）÷两次每人分配数的差=参与分配对象总数双盈的解法：（大盈+小盈）÷两次每人分配数的差=参与分配对象总数双亏的解法：（大亏−小亏）÷两次每人分配数的差=参与分配对象总数在同一个笼子里的，有若干鸡和兔．从笼子上看有30个头，从笼子下数有70只脚．问：这个笼子里装有鸡、兔各多少只？例1典型例题解：假设全都是鸡，鸡脚数共30×2=60（只），实际现在鸡、兔共70只脚，运用鸡兔同笼模型，共有兔子（70-60）÷（4-2）=5（只），鸡30−5=25（只）．答：鸡25只，兔5只练习1在一个停车场上，现有车辆41辆，其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车共有127个轮子，那么三轮摩托车有多少辆？？举一反三解：假设都是三轮摩托车，应有3×41=123（个）轮子运用鸡兔同笼模型：汽车有（127-123）÷（4-3）=4（辆），从而求出三轮摩托车有41−4=37（辆）；或者假设都是汽车，应有4×41=164（个）轮子，多了164−127=37（个）轮子，所以摩托车有37÷(4−3)=37（辆）．答：三轮摩托车37辆小明有1角、5角的硬币共35枚，一共是9元5角，问：两种硬币各多少枚？典型例题例2解：9元5角=95角，假设这35枚都是1角的，那么总钱数就应该是(1×35)=35角则利用鸡兔同笼模型（95-35）÷(5−1)=15（枚）；35−15=20（枚）答：5角硬币有15枚，1角硬币有20枚．买来2角邮票和5角邮票共100张，总值41元．求2角邮票、5角邮票各多少张？举一反三练习2解：41元=410角，假设这100张邮票都是2角的，那么总钱数应该是2×100=200角，比实际少了410−200=210角，则五角邮票有：（410-200）÷(5−2)=70（张）；两角邮票100−70=30（张）答：2角邮票有30张，5角邮票有70张．．小少、小文两人进行射击比赛，约定每中一发得20分，脱靶一发扣12分，两人各打了10发，共得208分，其中小少比小文多得64分，问：小文和小少两人分别各中了多少发？解：由和差问题公式可得知：小少得了(208+64)÷2=136分，小文得136−64=72分。下面是鸡兔同笼解法（以小文为例）：假设小文全中，则小文应该得了10×20=200分，但是实际得了72分，相差200−72=128分，而打中了一发和未打中相差20+12=32分，故小文未打中的有128÷32=4发，所有小文中了10−4=6发，同理可得小少中了8发．答：小文中了6发，小少中了8发．典型例题例3甲乙两车间共加工同样零件393个，包装时，把甲车间加工的16个零件并入乙车间的零件中，这时甲车间加工的零件仍比乙车间多5个，问：两个车间各加工零件多少个？解：根据题意，乙车间加工零件：(393−5)÷2−16=178（个）；甲车间加工零件：393−178=215（个）．答：甲车间215个，乙车间178个。举一反三练习3彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元．问：两种文化用品各买了多少套？解：假设买了16套彩色文化用品，则共需19×16=304（元），比实际多304−280=24（元），运用鸡兔同笼模型买普通文化用品（304-280）÷（19-11）=3（套），买彩色文化用品16−3=13（套）．答：买普通文化用品3套，买彩色文化用品13套典型例题例4某校举行的数学竞赛共15道题，规定每做对一题得10分，每做错一题倒扣4分，小明在这次竞赛中共得66分，问：他错、对了几道题？解：假设他将所以题全部做对了，则可得150分，实际上只得了66，每做错一题要少得（10+4）分，则知他做错了（150-66）÷（10+4）=6题，做对了9题．答：错了6题，对了9题举一反三练习4常用解题模型二•盈亏问题模型•把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完．如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏．凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题．•典型的盈亏问题一般以下列的形式表述：•把若干个苹果（未知数）分给若干个人（未知数），如果每人分2个还多20个，如果每人分3个则少5个．问总共有多少人？有多少苹果？•我们可以假设两次每人分的一样多，每人分得一样的为什么一个多20一个少5呢？就是因为我们假设每人分得一样多，实际上每人分的差3−2=1个，多20个和少5个相差25个，最后一共差了25个，所以可以求出人数是25÷1=25人，再带回题目中任意条件，可求出苹果数量2×25+20=70个或者3×25−5=70个．题目中的不变量是人数和苹果树，比较两种不同的分配方法，可知苹果相差．典型例题例5大班和小班共43人，如果大班每人给7块糖，小班每人给5块糖，就多余15块糖，如果大班每人给10块糖，小班每人给7块糖，就有13个小班的小朋友分不到糖，问：小班有多少位小朋友？解：大班每人多发10−7=3（块），小班每人多发7−5=2（块），就需要多发15+13×7=106（块）．因此小班人数(43×3−106)÷(3−2)=23（人）．答：小班23人。举一反三练习5卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫．如果每只大熊猫分5根竹子，还多10根竹子；如果大熊猫数增加到原来的3倍少5只，每只大熊猫分2根竹子，还缺少8根竹子．问：有大熊猫多少只，竹子多少棵？解：假设大熊猫数增加到原来的3倍，每只大熊猫分2根竹子，还缺少18根竹子，故大熊猫个数为：(10+18)÷(2×3−5)=28只，竹子有28×5+10=150根．答：大熊猫28只，竹子150棵典型例题例6某班学生去划船，如果增加一条船，那么每船正好坐6人；如果减少一条船就要坐9人．问：学生有多少人？解：假设船数固定不变，题目条件“如果增加一条船······”表示“如果每条船坐6人，那么有6人无船可坐”；“如果减少一条船⋯⋯”表示“如果每条船坐9人，那么就会空出一条船”，这样，用盈亏问题来做，3（人）．(6+9)÷(9−6)=5（条），6×5+6=36（人）．举一反三练习6阳光小学学生乘汽车到香山春游．如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？解：每车多坐5人，实际是每车可坐5+65=70(人)，恰好多余了一辆车，也就是还差一辆汽车的人，即70人．因而原问题转化为：如果每车坐65人，则多出5人无车乘坐；如果每车坐70人，还少70人，求有多少人和多少辆车？车数是5+5+65÷5=15(辆)，人数是65×15+5=980(人)或5+65×15−1=980(人)．课堂测验测验1点点家养了一些鸡和兔子，同时养在一个笼子里，点点数了数，它们共有个28头，72只脚．问：点点家养的鸡有（）只？A、10B、15C、20D、25【解析】假设全是鸡．那么一共有腿2×28=56（条）．则兔有（72-56）÷（4-2）=8（只），鸡有28-8=20（只）．某厂工人，白班补助4元，夜班另加6元，某工人工作24天，共得补助费144元，问：他上了（）天夜班？A、5B、6C、7D、8测验2解析：假设他没有上夜班，那么他应得补助4×24=96（元），可实际得补助费144元，则上夜班（144-96）÷6=8（天）食堂采购员小李到集贸市场去买肉，如果买牛肉18千克，则差4元；如果买猪肉20千克，则多2元．已知牛肉、猪肉每千克差价8角．问牛肉（）元钱一千克？A、3B、5C、6D、8解析：这笔钱买18千克牛肉还差4元，若把这18千克牛肉换成猪肉就会多出18×0.8=14.4元，所以这笔钱买千克猪肉会多出14.4-4=10.4元．而这笔钱买20千克猪肉会多出2元，所以每千克猪肉的价格为：（10.4-2）÷（20-18）=4.2（元）．牛肉价格为：4.2+0.8=5（元）测验3解析：因为桔子每人分3个多4个，而苹果是桔子的2倍，因此苹果每人分6个就多8个．又已知苹果每人分7个少5个，所以应有（8+5）÷（6-5）=13（人）．李老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍．桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个．问：有（）个小朋友？A、31B、21C、13D、10测验4解析：先把大班人数和小班人数转化为一样．大班减少3人，则苹果又收回3×5=15个苹果，人数一样，根据盈亏问题公式，小班人数为：（15+10+2）÷（8-5）=9人，苹果总数是8×9-2=70个．幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果全部分给大班的小朋友，每人分5个，则余下10个．如全部分给小班的小朋友，每人分到8个，则缺2个．已知大班比小班多3人，问：这筐苹果共有（）个？A、70B、60C、50D、40测验5解析：小松鼠一共采了80÷8=10（天），假设每天都是晴天，那么一共可以采10×10=100（个），所以一共有雨天：（100-80）÷（10-6）=5（天）小松鼠采松果，晴天每天可以采10个，雨天每天只能采6个．它一连几天采了80个松果，平均每天采8个．那么其中有（）天是雨天呢？A、8B、5C、4D、3测验6课堂小结基本概念：假设法解题需要善用鸡兔同笼模型以及盈亏问题模型；基本思路：①判定题目所属模型（鸡兔或是盈亏）：②判定后，沿用对应模型解题思路进行假设法解题；③假设后造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差，还原出所求问题答案。重点公式：一盈一亏的解法：（盈数+亏数）÷两次每人分配数的差=参与分配对象总数双盈的解法：（大盈+小盈）÷两次每人分配数的差=参与分配对象总数双亏的解法：（大亏?小亏）÷两次每人分配数的差=参与分配对象总数课堂小结课后作业1、停车场一共有三轮车、自行车400辆，数车轮共有899个．自行车有（）辆？A、250B、251C、300D、301解析：三轮车（899-400×2）÷（3-2）=99（辆），自行车400-99=301（辆）．2、盒子里有2分和5分的硬币共30枚，共0.9元．2分和5分的硬币各有（）枚?A、10B、20C、25D、26解析：五分：（90-2×30）÷52=10（枚），两分30-10=20（枚）．3、把一些桃子分给猴子们，每只猴子分到的一样多，如果分给5只猴子，那么还剩下12个桃子；如果分给7只猴子，就会缺4个桃子．问:每只猴子分到（）个桃子？A、20B、15C、12D、8解析：假设新来了7-5=2（只）猴子，除了分给它们剩下的12个桃子之外，还要再补上4个桃子，一共要分出12+4=16（个）桃子．这些桃子全部分给新增加的2个猴子，每个猴子能分到16÷2=8（个）桃子．4、有两堆一样多的苹果，老师将第一堆苹果分给男生，每人4个，最后剩下6个；老师又将第二堆苹果分给女生，每人5个，最后剩下5个．已知男生比女生多1人，问：每堆苹果有（）个？A、42B、36C、30D、24解析：如果增加1个女生，则女生人数和男生一样多，那么在给女生分配时，苹果刚好分完．女生比男生多分到5-4=1（个）苹果，所以男生共有6÷1=6（人），那么每堆苹果有6×4+6=30（个）．5、“六一”儿童节，小明到商店买了一盒花球和一盒白球，两盒内的球的数量相等．花球原价1元钱2个，白球原价1元钱3个．因节日商店优惠销售，两种球的