4第四次课-矩阵的运算(二)+可逆矩阵

第四次课§2.3可逆矩阵§2.2矩阵的运算(二)理解逆矩阵的概念掌握矩阵可逆的充要条件掌握可逆矩阵的性质教学内容教学目标及基本要求逆矩阵的概念及其求法重点难点逆矩阵的性质及相关问题的证明2020/3/22/22§2.2矩阵的运算（二）四、矩阵的转置1、def:设矩阵111212122212nnmmmnmnaaaaaaAaaa，将其第i行作为第i列所构成的矩阵称为矩阵A的转置矩阵，记为：TA或'A，即112111221112nnTnnnnnmaaaaaaAaaa。transposematrix(P39定义2.2.4)2020/3/23/222、性质：TTAA：TTTABAB：()TTkAkA，k是数：()TTTABBA推广()TTTTABMMBA()()mTTmAA，其中A为方阵，m为正整数.：2020/3/24/22例1(P40例2.2.6)设矩阵171201,423132201AB，求TAB.2020/3/25/223、对称矩阵Def：方阵A，如果TAA，即,,1,2,,jiijaaijn，称矩阵A为对称矩阵。例1当A为方阵时，证明（1）TAA为对称矩阵；（2）TAA为对称矩阵.元素以主对角线为对称轴对应相等symmetricmatrix2020/3/26/224、反对称矩阵Def：方阵A，如果TAA，即,,1,2,,jiijaaijn，称矩阵A为反对称矩阵。例2当A为方阵时，证明TAA为反对称矩阵.元素以主对角线为对称轴互为相反数：0iiiiiijiaaa11:22TTnnAAAAA：对称矩阵方阵=+反对称矩阵anti-symmetricmatrix2020/3/27/22五、方阵取行列式(P41定义2.2.5)1、def：ijnnAaA2、性质：TA：12,,,ndiagA12,,,n||kA：（A是n阶方阵）||nkA：设,AB同为n阶方阵，则有||||||ABAB。2020/3/28/22例1设矩阵1234101231,0012100011AE，求3AE.2020/3/29/22§2.3可逆矩阵一、概念的引入1、数的除法可转化成乘法:ab1ab2、1abbab称为a的倒数,记作11baa类比：矩阵AABBAE在矩阵运算中，单位矩阵E相当于数11BA可逆矩阵存在矩阵B，使得inversematrix2020/3/210/22二、可逆矩阵的概念及性质1、def：设矩阵A是n阶方阵，若存在n阶矩阵B，满足：ABBAE，则称矩阵A可逆，并称矩阵B为矩阵A的逆矩阵，记作1A，即1BA。：A可逆时，说明11AAAAE1nnEE：：B是A的逆，则A也是B的逆，即互为可逆。(P43定义2.3.1)2020/3/211/222、定理：逆矩阵唯一。即：若方阵A可逆，则其逆矩阵唯一.证明设矩阵B和C都是矩阵A的逆矩阵，则有,ABBAEACCAE从而BBEBACBACECC可见，A的逆矩阵是唯一的.2020/3/212/22矩阵的转置方阵取行列式可逆矩阵11AAAAE:设,AB同为n阶方阵，则有||||||ABAB。:||kA（A是n阶方阵）||nkA:()TTTABBA:复习2020/3/213/22三、方阵可逆的充要条件1、Def：设ijnnAa为n阶矩阵，ijA是元素ija的代数余子式,1,2,,ijn，则称矩阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAA为矩阵A的伴随矩阵，记为*A（读作A的伴随）。代数余子式的转置矩阵(P43定义2.3.2)adjointmatrix2020/3/214/22例1已知矩阵11122122aaAaa，求其伴随矩阵*A.“反负(复)调主”2020/3/215/222、引理：**AAAAAE证明111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaAAAaaaAAAaaaAAA*AA000000AAAAE同理可得：*AAAE,从而：**AAAAAE2020/3/216/22证明充分性若0A，作矩阵*1BAA，由引理可知**111ABAAAAAEAAA**111BAAAAAAEEAAA比较得，ABBAE，故A可逆，且有：1*1ABAA必要性设方阵A可逆，存在同阶方阵B，满足ABBAE，得10AB，故0A。n阶矩阵A可逆的充要条件是0A。且1*1||AAA。3、定理1：(P43定理2.3.1)公式法2020/3/217/22例1设101210311A，验证A是否可逆，若可逆求其逆.例2(P44例2.3.1)设133143134A，验证A是否可逆，若可逆求其逆.2020/3/218/22n阶方阵A可逆的充分必要条件是存在n阶方阵B，使ABE（或BAE）,这时必有1AB.4、定理2：(P45定理2.3.2)可逆矩阵的证明思路E11例1设n阶方阵A满足232AAEO.证明A及3AE可逆，并求1A、13AE.2020/3/219/22四、可逆矩阵的性质11111221()kkAAAAAA11()AA：111()kAAk：11()()TTAA：111()ABBA：11()()mmAA：11||||AA：2020/3/220/22小结矩阵的转置方阵取行列式可逆矩阵11AAAAE:公式法：1*1||AAA:**AAAAAE:设,AB同为n阶方阵，则有||||||ABAB。:||kA（A是n阶方阵）||nkA:()TTTABBA:2020/3/221/22可逆矩阵的证明思路E112020/3/222/22提前预习§2.5矩阵的初等变换与初等矩阵66:11(1),(3)P作业13§2.6矩阵的秩习题2(A)：