搜索
5.1平面向量的概念及线性运算-2-知识梳理考点自诊1.向量的有关概念名称定义备注向量既有,又有的量叫作向量;向量的大小叫作向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量叫作零向量;其方向是任意的记作0单位向量长度等于的向量非零向量a的单位向量为±𝑎|𝑎|平行向量方向或的非零向量零向量与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫作共线向量大小方向长度模01个单位相同相反方向相同或相反平行-3-知识梳理考点自诊名称定义备注相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不相等,不能比较大小相反向量长度且方向的向量零向量的相反向量仍是零向量相等相同相等相反-4-知识梳理考点自诊2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律:a+b=(2)结合律:(a+b)+c=减法求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差a-b=a+(-b)b+aa+(b+c)-5-知识梳理考点自诊向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|=;(2)当λ0时,λa的方向与a的方向;当λ0时,λa的方向与a的方向;当λ=0时,λa=0λ(μa)=;(λ+μ)a=;λ(a+b)=|λ||a|相同相反λμaλa+μaλa+λb-6-知识梳理考点自诊3.向量共线定理(1)向量b与a(a≠0)共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得.注:限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性.(2)变形形式:已知直线l上三点A,B,P,O为直线l外任一点,有且只有一个实数λ,使得𝑂𝑃=(1-λ)𝑂𝐴+λ𝑂𝐵.b=λa-7-知识梳理考点自诊1.P为线段AB的中点⇔OP=12(OA+OB).2.若G为△ABC的重心,则有(1)GA+GB+GC=0;(2)AG=13(AB+AC).3.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.4.对于起点相同、终点共线的三个向量OP,OP1,OP2(O与P1P2不共线),总有OP=uOP1+vOP2,u+v=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1.-8-知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段表示向量.()(2)𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐷=𝐴𝐷.()(3)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反.()(4)若向量𝐴𝐵与向量𝐶𝐷是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.()(5)若a∥b,b∥c,则a∥c.()×√×××-9-知识梳理考点自诊2.四边形ABCD中,,则四边形ABCD是()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形𝐴𝐵=𝐷𝐶,且|𝐴𝐷−𝐴𝐵|=|𝐴𝐷+𝐴𝐵|C解析:由于,故四边形是平行四边形.根据向量加法和减法的几何意义可知,该平行四边形的对角线相等,故为矩形.𝐴𝐵=𝐷𝐶3.已知,且四边形ABCD为平行四边形,则()A.a-b+c-d=0B.a-b+c+d=0C.a+b-c-d=0D.a+b+c+d=0𝑂𝐴=a,𝑂𝐵=b,𝑂𝐶=c,𝑂𝐷=dA解析:依题意,得𝐴𝐵=𝐷𝐶,故𝐴𝐵+𝐶𝐷=0,即𝑂𝐵−𝑂𝐴+𝑂𝐷−𝑂𝐶=0,即𝑂𝐴−𝑂𝐵+𝑂𝐶−𝑂𝐷=0,则a-b+c-d=0,故选A.-10-知识梳理考点自诊4.(2018全国1,文7)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则𝐸𝐵=()A.34𝐴𝐵−14𝐴𝐶B.14𝐴𝐵−34𝐴𝐶C.34𝐴𝐵+14𝐴𝐶D.14𝐴𝐵+34𝐴𝐶A解析:如图,𝐸𝐵=-𝐵𝐸=-12(𝐵𝐴+𝐵𝐷)=12𝐴𝐵−14𝐵𝐶=12𝐴𝐵−14(𝐴𝐶−𝐴𝐵)=34𝐴𝐵−14𝐴𝐶.-11-知识梳理考点自诊5.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.12解析:由题意知存在常数t∈R,使λa+b=t(a+2b),则𝜆=𝑡,1=2𝑡,解得λ=12.-12-考点一考点二考点三平面向量的有关概念例1(1)对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)给出下列命题:①若|a|=|b|,则a=b或a=-b;②若A,B,C,D是不共线的四点,则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;③若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;④a=b的充要条件是|a|=|b|,且a∥b.其中真命题的序号是.𝐴𝐵=𝐷𝐶A②-13-考点一考点二考点三解析:(1)若a+b=0,则a=-b,所以a∥b.若a∥b,则a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要条件.(2)①不正确.两个向量的长度相等,方向可以是任意的;②正确.∵𝐴𝐵=𝐷𝐶,∴|𝐴𝐵|=|𝐷𝐶|,且𝐴𝐵∥𝐷𝐶.又A,B,C,D是不共线的四点,∴四边形ABCD为平行四边形.反之,若四边形ABCD为平行四边形,则𝐴𝐵与𝐷𝐶的方向相同,且|𝐴𝐵|=|𝐷𝐶|,因此𝐴𝐵=𝐷𝐶;③不正确.相等向量的起点和终点可以都不同;④不正确.当a∥b且方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b.综上所述,真命题的序号是②.-14-考点一考点二考点三思考学习了向量的概念后,你对向量有怎样的认识?解题心得对于向量的概念应注意以下几条:(1)向量的两个特征为大小和方向.向量既可以用有向线段和字母表示,也可以用坐标表示.(2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量未必是相等向量.(3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,所以向量只有相等与不相等,不可以比较大小.-15-考点一考点二考点三对点训练1给出下列6个命题:①若|a|=|b|,则a=b或a=-b;②若,则ABCD为平行四边形;③若a与b同向,且|a||b|,则ab;④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线;⑤λa=0(λ为实数),则λ必为零;⑥a,b为非零向量,a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b.其中假命题的序号为.𝐴𝐵=𝐷𝐶①②③④⑤⑥-16-考点一考点二考点三解析:①不正确.|a|=|b|.但a,b的方向不确定,故a,b不一定是相等或相反向量;②不正确.因为,A,B,C,D可能在同一直线上,所以ABCD不一定是四边形.③不正确.两向量不能比较大小.④不正确.当λ=μ=0时,a与b可以为任意向量,满足λa=μb,但a与b不一定共线.⑤不正确.当λ=1,a=0时,λa=0.⑥不正确.对于非零向量a,b,a=b的充要条件是|a|=|b|且a,b同向.𝐴𝐵=𝐷𝐶-17-考点一考点二考点三平面向量的线性运算例2(1)设D为△ABC所在平面内一点,𝐴𝐷=-13𝐴𝐵+43𝐴𝐶,若𝐵𝐶=λ𝐷𝐶(λ∈R),则λ=()A.2B.3C.-2D.-3(2)(2018河南郑州一模,9)如图,在△ABC中,N为线段AC上靠近A的三等分点,点P在BN上且𝐴𝑃=(m+211)𝐴𝐵+211𝐵𝐶,则实数m的值为()A.1B.12C.911D.511DD-18-考点一考点二考点三解析:(1)由𝐴𝐷=-13𝐴𝐵+43𝐴𝐶,可得3𝐴𝐷=-𝐴𝐵+4𝐴𝐶,即4𝐴𝐷-4𝐴𝐶=𝐴𝐷−𝐴𝐵,则4𝐶𝐷=𝐵𝐷,即𝐵𝐷=-4𝐷𝐶,可得𝐵𝐷+𝐷𝐶=-3𝐷𝐶,故𝐵𝐶=-3𝐷𝐶,则λ=-3.(2)∵N为线段AC上靠近A的三等分点,∴𝐴𝑁=13𝐴𝐶.设𝐵𝑃=λ𝐵𝑁,𝐴𝑃=𝐴𝐵+𝐵𝑃=𝐴𝐵+λ𝐵𝑁=𝐴𝐵+λ(𝐴𝑁−𝐴𝐵)=(1-λ)𝐴𝐵+λ𝐴𝑁=(1-λ)𝐴𝐵+𝜆3𝐴𝐶.∵𝐴𝑃=m+211𝐴𝐵+211𝐵𝐶=m𝐴𝐵+211(𝐴𝐵+𝐵𝐶)=m𝐴𝐵+211𝐴𝐶,∴1-𝜆=𝑚,𝜆3=211,∴m=1-611=511.-19-考点一考点二考点三思考在几何图形中,用已知向量表示未知向量的一般思路是什么?向量的线性运算与代数多项式的运算有怎样的联系?解题心得1.进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线及相似三角形的对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来.2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形方法在向量的线性运算中同样适用.-20-考点一考点二考点三对点训练2(1)在△ABC中,点O在线段BC的延长线上,且|𝐵𝑂|=3|𝐶𝑂|,当𝐴𝑂=x𝐴𝐵+y𝐴𝐶时,x-y=()A.-2B.-3C.2D.3(2)(2018山东日照一中月考)在△ABC中,点D是线段BC上任意一点,M是线段AD的中点,若存在实数λ和μ,使得𝐵𝑀=λ𝐴𝐵+μ𝐴𝐶,则λ+μ=()A.2B.-2C.12D.-12AD-21-考点一考点二考点三解析:(1)如图.∵|𝐵𝑂|=3|𝐶𝑂|,∴𝐵𝑂=3𝐶𝑂.∴𝐵𝑂=32𝐵𝐶=32(𝐴𝐶−𝐴𝐵).∴𝐴𝑂=𝐴𝐵+𝐵𝑂=𝐴𝐵+32(𝐴𝐶−𝐴𝐵)=-12𝐴𝐵+32𝐴𝐶.又𝐴𝑂=x𝐴𝐵+y𝐴𝐶,∴x=-12,y=32.∴x-y=-2,故选A.-22-考点一考点二考点三(2)如图所示,∵点D在线段BC上,∴存在t∈R,使得𝐵𝐷=t𝐵𝐶=t(𝐴𝐶−𝐴𝐵),由M是线段AD的中点,𝐵𝑀=12(𝐵𝐴+𝐵𝐷)=12(-𝐴𝐵+t𝐴𝐶-tAB)=-12(t+1)𝐴𝐵+13𝑡𝐴𝐶,又𝐵𝑀=λ𝐴𝐵+μ𝐴𝐶,所以λ=-12(t+1),μ=12t,所以λ+μ=-12.-23-考点一考点二考点三向量共线定理及其应用例3(1)已知向量𝐴𝐵=a+3b,𝐵𝐶=5a+3b,𝐶𝐷=-3a+3b,则()A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线(2)已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d共线反向,则实数λ的值为()A.1B.-12C.1或-12D.-1或-12(3)(2018衡水中学九模,6)已知数列{an}为等差数列,且满足𝑂𝐴=a1𝑂𝐵+a2017𝑂𝐶,若𝐴𝐵=λ𝐴𝐶(λ∈R),点O为直线BC外一点,则a1009=()A.3B.2C.1D.12BBD-24-考点一考点二考点三解析:(1)∵𝐵𝐷=𝐵𝐶+𝐶𝐷=2a+6b=2(a+3b)=2𝐴𝐵,∴𝐵𝐷,𝐴𝐵共线,又有公共点B,∴A,B,D三点共线.故选B.(2)由于c与d共线反向,则存在实数k使c=kd(k0),于是λa+b=k[a+(2λ-1)b].整理得λa+b=ka+(2λk-k)b.由于a,b不共线,所以有𝜆=𝑘,2𝜆𝑘-𝑘=1,整理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-12.又因为k0,所以λ0,故λ=-12.(3)∵𝐴𝐵=λ𝐴𝐶(λ∈R),∴A,B,C在一条直线上.∵满足𝑂𝐴=a1𝑂𝐵+a2017𝑂𝐶,O为直线BC外一点,∴a1+a2017=1,∵数列{an}为等差数列,∴2a1009=a1+a2017=1,∴a1009=12.-25-考点一考点二考点三思考如何用向量的方法证明三点共线?解题心得1.证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.2.向量a,b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立;若λ1a+λ2b=0当且仅当λ1=λ2=0时成立,则向量