1-2行列式展开定理与Cramer法则

《线性代数》下页结束返回一、余子式与代数余子式定义6在n阶行列式D=|aij|中去掉元素aij所在的第i行和第j列后,余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij的余子式，记作Mij.a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44例如，求4阶行列式中a32的代数余子式a11a21a41a13a23a43a14a24a44M32=A32=(-1)3+2M32=-M32令Aij=(-1)i+jMij，Aij称为元素aij的代数余子式.2.2行列式按行(列)展开下页《线性代数》下页结束返回一、余子式与代数余子式定义1在n阶行列式D=|aij|中去掉元素aij所在的第i行和第j列后,余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij的余子式，记作Mij.令Aij=(-1)i+jMij，Aij称为元素aij的代数余子式.a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44再如，求4阶行列式中a13的代数余子式a21a31a41a22a32a42a24a34a44M13=A13=(-1)1+3M13=M13下页《线性代数》下页结束返回333231232221131211aaaaaaaaaD=322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa---++=112233233212213331231321323122()()()aaaaaaaaaaaaaaa=---+-222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa=-[phone]aMaMaM=-[phone]aAaAaA=++观察三阶行列式下页《线性代数》下页结束返回二、展开定理定理3n阶行列式D=|aij|，若其第i行(列)的元素除aij外都为0，则行列式等于aij与其对应的代数余子式的乘积.即D=aijAij112122211200nnnnnaaaaDaaa=：(1证明)2232()2311(1)nnniiiiniiiaaaa=-11111111111111(1)aMaMaA+==-=2232()2311(1)nnniiiiniiiaaaa=-《线性代数》下页结束返回定理3n阶行列式D=|aij|，若其第i行(列)的元素除aij外都为0，则行列式等于aij与其对应的代数余子式的乘积.即D=aijAij111211212000jnijnnnjnnaaaaaDaaaa=证：(2)明二、展开定理1122111121112000iiiiijrrrrjnrrnnnjnnaaaaaaaaa---=《线性代数》下页结束返回11221111211112000(1)iiiiijrrrrjnrrinnnjnnaaaaaaaaa----=-111211212000jnijnnnjnnaaaaaDaaaa=证：(2)明定理3n阶行列式D=|aij|，若其第i行(列)的元素除aij外都为0，则行列式等于aij与其对应的代数余子式的乘积.即D=aijAij二、展开定理112211111211112000(1)(1)jjjjccijccjnccijnjnnnnaaaaaaaaa-----=--2111111(1)ijijaMaA+-=-=《线性代数》下页结束返回定理4n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即D=ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin(i=1,2,,n)，D=a1jA1j+a2jA2j++anjAnj(j=1,2,,n).下页111211112112121212000000nniiiniiinnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaDaaaaaa+++++++++==分析：11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa=+++二、展开定理《线性代数》下页结束返回定理4n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即D=ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin(i=1,2,,n)，D=a1jA1j+a2jA2j++anjAnj(j=1,2,,n).下页1111111111112000000分析：jnjniijiniijnnjnnnnnjnnaaaaaaaaaaaDaaaaaaa++++++++==++++二、展开定理《线性代数》下页结束返回定理5n阶行列式D=|aij|的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积的和等于零.即ai1Aj1+ai2Aj2++ainAjn=0(ij)，a1iA1j+a2iA2j++aniAnj=0(ij).下页二、展开定理1212iiinjjjnaaaaijaa1122jjjjjnjnaAaAaA+++=12iiinaaa1212jjiiinjnAaaAaA+++=《线性代数》下页结束返回例1．分别按第一行与第二列展开行列式11-2013-231D=解：按第一行展开13311-2311-213=a11A11+a12A12+a13A13D=1(-1)1+1+0(-1)1+2(-1)1+3+(-2)=1(-8)+0+(-2)5=-18.三、利用展开定理计算行列式下页《线性代数》下页结束返回按第二列展开1-2311-2-2111-23=0+1(-3)+3(-1)5=-3-15=-18.例1．分别按第一行与第二列展开行列式11-2013-231D=解：按第一行展开=a11A11+a12A12+a1nA1nD=1(-8)+0+(-2)5=-18.(-1)3+2+3(-1)2+2+1(-1)1+2=0=a12A12+a22A22+a32A32D下页《线性代数》下页结束返回解：将某行(列)化为一个非零元后展开例2．计算行列式1234120-53-1-101012D==-2-2-20-3-9-7-10-121110-3-9-20-3-5=-24.123400-3-90-7-10-120-2-2-21234120-53-1-101012D=21rr-313rr-217rr+下页41rr-《线性代数》下页结束返回解：将某行(列)化为一个非零元后展开例2．计算行列式1234120-53-1-101012D==(-1)(-1)3+27147-2-511260290-1112=1(-1)2+2692-1=-6-18=-24.701470-2-53-1-1010121234120-53-1-101012D=312rr+342rr+21rr-232rr+下页《线性代数》下页结束返回0000abaaabbaaabaD=0202022ababaaabbaababaabD++++=010101000)2(abaababab+=01101)1()2(31baabbab+-+=例3.计算行列式bbbaabbab--+=0001)2()2()2()2(2ababbbbbaabab-+=--+=0101011)2(abaabaabaab+=解：下页《线性代数》下页结束返回14321432113213121321nnnnnnnn---12123111311311(1)213411341ncccnnnnnnnnnn+++---+=原行列式2131112310100001200(1)20112001111nrrrrrrnnnnnn------+=--例4计算行列式解：下页《线性代数》下页结束返回110001200(1)(1)!(1).1130221111nnnnn---++==---2131123101000011200(1)20112001111nrrrrrrnnnnnn------+=--下页《线性代数》下页结束返回2111121111211112------=nD11111111121102111121012111120112nD-=+--------1111032200320003=1222333nnD--=++++122(3333)2nn--=+++++133131222nn--+=+=(D2=5)解：例5.计算行列式113nnD--=+1nD-+下页《线性代数》下页结束返回证明：从最后一行起每一行加上前一行的(-a1)倍，得2113122311333123221123212212312321221131200001111------------------------=nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD例6.证明范得蒙德（Vandermonde）行列式下页-==------------nijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaDjinnnnnnnnnnnnnnnnnn1)(11111231323331222321121312232221321《线性代数》下页结束返回2113122311333123221123212212312321221131200001111------------------------=nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD下页21131223113331232211232122123123212211312------------------------=nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa《线性代数》下页结束返回22322223223211312111)())((------=nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa下页21311212313133331312122222123131().1().1().1()()()()()()()()()nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaaaaaaaaaa------------=------213111()()()nnDaaaaaa-=---《线性代数》下页结束返回21111()nnnnDaaaa--==-注意：()1即nDaaijjin=-213111()()()nnnDaaaaaaD-=---1324222()()()nnnDaaaaaaD--=---)())((22423.aaaaaan---))((221.-----nnnnaaaa由此推得=nD)())((11312aaaaaan---……1-nD2-nD2D)(1.--nnaa即31222()()nnnnDaaaaD---=--……下页《线性代数》下页结束返回例7下页22111222nnnDnnn=11111122!1nnnDnnn--=解!()1nijjin=-!(21)(31)(1)nn=---(32)(42)(2)[(1)]nnn-----!(1)!2!1!nn=-《线性代数》下页结束返回23101231nnyaaxaxaxax--=+++++……例8过平面上的n个互异点能否惟一确定一条n-1次曲线：解假设曲线过平面上的n个点分别为：1,2,,(,),kkknxy=2311111123122222231012310123101231nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaxxxxyxaaaaaxxxyxxxxy------+++++=+++++=+++++=…………即：……211112122221333211111nnnnnnnxxxxxxxxxxxx----系数行列式即为下页即得：