2-5矩阵的初等变换与初等矩阵

《线性代数》下页结束返回一、初等变换二、初等矩阵三、求逆矩阵的初等行变换法初等矩阵的作用、初等矩阵的可逆性下页第5节矩阵的初等变换与初等矩阵《线性代数》下页结束返回5.1初等变换交换第i行与第j行记为rirj.15-1-11-2131-93738-111-2131-937r2r4———15-1-138-11定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.例如下页《线性代数》下页结束返回-113-1交换第i列与第j列记为cicj.15-1-11-2131-93738-11c1c3———5-2-98-13711113例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.《线性代数》下页结束返回用数k乘以第i行记为kri.15-1-11-2131-93738-114r2———44-8121-15-113-973-181例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.《线性代数》下页结束返回用数k乘以第i列记为kci.15-1-11-2131-93738-114c3———-4412-415-11-231-97381例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.《线性代数》下页结束返回第i行的k倍加到第j行记为rj+kri.15-1-11-2131-93738-11r3-3r1———15-1-11-2131-9370-724例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.《线性代数》下页结束返回第i列的k倍加到第j列记为cj+kci.15-1-11-2131-93738-11c3+c1———024215-11-231-97381例如下页5.1初等变换定义1对矩阵施以下列三种变换之一，称为初等变换.(1)交换矩阵的某两行(列)；(2)以数k0乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.《线性代数》下页结束返回定理3任意一个mn矩阵都可以经过一系列的初等变换化成下述形式00000000010000100001它称为矩阵A的标准形（1的个数可以是零）.下页《线性代数》下页结束返回下页2101000041-16r2↔r12101100-1—0046r2-2r10103—100-100461/4c3004—010100306006010100004—c4+c1c4-3c2例如：000010100001—c4-6c3《线性代数》下页结束返回定义2对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）.初等矩阵有下列三种：E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).=E(2,4)例如，下面是几个4阶初等矩阵：1000010000100001E=0001100000100100r2r4———=E(2,4)1000010000100001E=0001100000100100c2c4———下页5.2初等矩阵《线性代数》下页结束返回=E(3(4))1000010000100001E=00401000010000014r3———=E(3(4))1000010000100001E=00401000100000014c3———下页定义2对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）.初等矩阵有下列三种：E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).5.2初等矩阵例如，下面是几个4阶初等矩阵：《线性代数》下页结束返回=E(2,4(k))1000010000100001E=010k100000100001r2+kr4———=ET(2,4(k))1000010000100001E=100000010001010kc2+kc4———下页定义2对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵（或初等方阵）.初等矩阵有下列三种：E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).5.2初等矩阵例如，下面是几个4阶初等矩阵：《线性代数》下页结束返回初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵.初等矩阵的可逆性E(j,i(k))-1=E(j,i(-k)).E(i(k))-1=E(i(k-1))；E(i,j)-1=E(i,j)；这是因为，初等矩阵的行列式及逆矩阵分别为:下页|E(j,i(k))|=1.|E(i(k))|=k(k≠0)；|E(i,j)|=-1；《线性代数》下页结束返回E(1,2)A==与交换A的第一行(列)与第二行(列)所得结果相同.AE(1,2)==例如，设=343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA343332312423222114131211100001010aaaaaaaaaaaa21a22a23a24a14131211aaaa34333231aaaa1000010000010010343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa12a22a32a312111aaa332313aaa342414aaa下页定理1设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于用相应的m阶初等矩阵乘矩阵A；对A施行一次初等列变换相当于用矩阵A乘相应的n阶初等矩阵的转置矩阵.《线性代数》下页结束返回=与第三行(列)的2倍加到第一行(列)所得结果相同.=例如，设=343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA343332312423222114131211100010201aaaaaaaaaaaa31112aa+34333231aaaa1000010200100001343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa13112aa+23212aa+33312aa+322212aaa332313aaa342414aaaE(1,3(2))A=AET(1,3(2))=32122aa+33132aa+34142aa+24232221aaaa下页定理1设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于用相应的m阶初等矩阵乘矩阵A；对A施行一次初等列变换相当于用矩阵A乘相应的n阶初等矩阵的转置矩阵.《线性代数》下页结束返回练习：010123001100456010?001789100=20112012010123001100456010?001789100=下页《线性代数》下页结束返回练习：010123001100456010001789100=20112012010123001100456010001789100=下页654321987456123789《线性代数》下页结束返回5.3求逆矩阵的初等变换方法定理2若n阶矩阵A可逆，则可以通过行初等变换将A化为单位矩阵.证：因为A可逆,即|A|≠0，所以A的第一列不全为0,不妨设a11≠0.将A的第一行元素乘以1/a11,再将变换后的第一行的(-ai1)倍加到第i行，i=2,3,…,n,使第一列其他元素全化为零，得如下形式矩阵B1:1110,0BA=由定理1知，121,mBFFFA=其中Fi是对应初等矩阵.22100100BA=一直进行下去，最终把A化成了单位矩阵E.同理可得B2:下页即B2的第二行第二列元素化为1,第二列的其它元素全化为零.《线性代数》下页结束返回推论方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为有限个初等矩阵的乘积.下页证（必要性）假设A可逆，由定理2，A经有限次初等行变换可化为单位阵E,即存在初等矩阵sF,,F,F21使AFFFE12s=11111111121121121sssssAFFFEFFFFEFFFF-----------===而1111211,,,,-----ssFFFF是初等矩阵.（充分性）如果A可表示为有限个初等矩阵的乘积，因为初等矩阵都是可逆的，而可逆矩阵的乘积仍然可逆的，所以A是可逆矩阵.《线性代数》下页结束返回就是说，当通过初等行变换将矩阵A变成E时，经过同样的变换把E变成了A-1.于是有利用初等行变换求逆矩阵的方法(要求：熟练掌握)构造一个n×2n矩阵(A|E)，对矩阵(A|E)作初等行变换，当左部A变成单位矩阵E时，右部单位矩阵E则变成A-1.即1AEEA-行初等变换下页EAPPPPmm=-121121(|)mmPPPPAE-121121(|)mmmmPPPPPPEPAP--==即若,则1121,mmPPPPA--=而由1(|)EA-=1121--=APPPPmm,即1121,mmPPPPEA--=1211(|)mmAPPPPEP-=《线性代数》下页结束返回例1(法2)．求矩阵A=的逆矩阵.12-301210-512-301210-5100010001解：10110001-2-21002-2301—r2-2r1r3+3r110110001-2-2100027-21—r3-2r2100-2.51-0.50105-110027-21—r2+r3r1-0.5r3—100-2.51-0.50105-110013.5-10.5，-2.553.51-1-1-0.510.5A-1=.(A│E)=r30.5下页1AEEA-行初等变换《线性代数》下页结束返回.,3431223211-=AA求设解：例2------103620012520001321=100343010122001321EA213123rrrr--下页1AEEA-行初等变换《线性代数》下页结束返回--------111100012520011201------111100563020231001.111253232311----=-A10013235010322001111----132325rrrr--1232rrrr+--0.5r2-r3下页1AEEA-行初等变换