函数及其图像知识点复习

一、平面直角坐标系的概念横轴（x轴）纵轴（y轴）单位长度正方向原点（0、0）四个象限坐标平面内的一个点与一对有序实数一一对应，即（2、3）与（3、2）表示不同的点A、B横轴（x轴）纵轴（y轴）.A（2、3）.B（3、2）二、坐标平面内点的坐标第一象限（+、+）第二象限（－、+）第三象限（－、－）第四象限（+、－）象限横、纵坐标符号或（+、+）（－、+）（－、－）（+、－）1各象限符号特征2、数轴上的点X轴上的点纵坐标为0，即（x、0）原点既在x轴上，又在y轴上，即（0、0）3、对称点的特征（1）两点关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数。即（x、y）(x、-y)关于X轴对称（2）两点关于Y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数。即（x、y）(-x、y)关于Ｙ轴对称（3）两点关于原点对称，横、纵坐标均互为相反数。即（x、y）(-x、-y)关于原点对称Y轴上的点横坐标为0，即（0、y）三、函数的概念及图像1、概念：一般地，在一个变化过程中的两个变量x、y，若给定一个x的值，都有唯一一个y值与之对应，则y叫x的函数，x是自变量，y是因变量.2、函数的图像点在图像上点的坐标（横坐标自变量，纵坐标因变量）满足函数解析式。四、一次函数及其图像1、函数关系式：y=kx+b（k、b是常数，k≠0）2、在y=kx+b中，当b=0时，得y=kx，则y叫x的正比例函数，即正比例函数是特殊的一次函数y与x成正比例y=kx（k≠0）3、正比例函数y=kx(k≠0)的图像及性质K＞0K＜0图像过原点，且经过一、三象限，y随x的增大而增大图像过原点，且经过二、四象限，y随x的增大而减小5、一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与系数的关系K＞0,b＞0k＞0，b＜0k＜0，b＞0k＜0，b＜0图像经过象限性质一、二、三象限一、三、四象限一、二、四象限二、三、四象限b＞0，直线交y轴于正半轴，b＜0，直线交y轴于负半轴（0、b）（0、b）（0、b）（0、b）五、反比例函数及其图像1、概念：y=k/x(或y=kx-1)（K≠0）y与x成反比例（y是x的反比例函数)2、图像及性质：反比例函数的图像是两只曲线，称双曲线，双曲线关于原点对称。k＞0k＜0在每一象限，y随x的增大而减小在每一象限，y随x的增大而增大六、二次函数图像及其性质1、二次函数的解析式（表达式）一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0）标准形式（顶点坐标式）：y=a(x－h)2+k(a≠0）注：二次函数的解析式是关于自变量x的二次整式2、图像及其性质二次函数的图像是抛物线（轴对称图形）顶点坐标公式.44222abacabxay二次函数图象一般形式y=ax²+bx+cy=a(x-h)²+k(a≠0)顶点对称轴.44,22abacab标准形式（顶点坐标式）配方去括号，合并ab2直线x=直线x=h（h,k)3、二次函数y=a(x-h)²+k(a≠0)与y=ax²的关系（1）.相同点:①形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).②都是轴对称图形.③都有最(大或小)值.在对称轴左侧(当xh时),y都随x的增大而增大,在对称轴右侧(当xh),y都随x的增大而减小.在对称轴左侧(当xh时）,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧（当xh)时,y都随x的增大而增大顶点（h,k）是图象上最高点当x=h时，有最大值y大=k顶点（h,k）是图象上最底点当x=h时，有最小值y小=ka0a0（2).不同点:①位置不同②顶点不同:分别是(h,k)和(0,0).③对称轴不同:分别是直线x=h和y轴(即直线x=0).④最值不同:分别是k和0.（3）联系:y=ax²y=a(x-h)²y=ax²+ky=a(x-h)²+k（2）、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.有两个交点（Ｘ１０）（X２，０）有两个相异的实数根X1与X2b2-4ac0有一个交点（Ｘ，０）有两个相等的实数根Ｘb2-4ac=0没有交点没有实数根b2-4ac0二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac4、抛物线y=ax2+bx+c与数轴的交点（1）、与y轴交点:(0、c)(即：当x=0时，y=c）b=0时一次函数y=kx+b（k,b为常数,k≠0)正比例函数y=kx(k为常数）函数图像与性质y=kx+by=kx(0,b)(0,b)当x=0时y=by=kx+b当y=0时x=函数图像过（0，b),(,0)y=kx当x=0时y=0当x=1时y=k图像过（０，０），（１，ｋ）(1,k)(1,k)１kk例.求二次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．函数y=ax²+bx+c的顶点式一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.驶向胜利的彼岸1.配方:cbxaxy2acxabxa2提取二次项系数acababxabxa22222配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方222442abacabxa整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项.44222abacabxa化简:去掉中括号老师提示:这个结果通常称为求顶点坐标公式..44222abacabxay1.理解问题;“二次函数应用”的思路解决“最值问题”如：“最大利润”和“最大面积”此类问题的基本思路:驶向胜利的彼岸2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系,建立好平面直角坐标系;3.把现实中的数转化为坐标.用数学的方式表示出它们之间的关系;4.做数学求解;5.检验结果的合理性,拓展,注重逆向思维,提高能力等.∵点P(a、a-2)在第四象限内∴a＞0a-2＜00＜a＜2金卷四2、已知点P(a、a-2)在第四象限内，则a的取值范围是0＜a＜2金卷四1、与点P(2、-3)关于x轴对称的点的坐标是(2、3)金卷五1、若点A(a、1)与点B(3、b)关于原点对称、则a+b=∵关于原点对称∴a=-3b=-1a+b=-4-4金卷五2、函数y=+中，自变量x的取值范围是12xx32x+1≥03-x≥0≤x≤321金卷四13、下列图像中，不可能是关于x的一次函数y=mx-(m-3)的图像是若m是负数，则–(m-3)是,直线将从左到右逐渐，并且交纵轴于下降负半轴ACDBC正数