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华兴教育正比例和反比例内部讲义与练习知识点一：正比例和反比例的意义（1）正比例1、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两个量就是相关联的量。如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，，它们的关系叫做正比例关系。用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示一定的量，那么正比例关系可以写成：一定kxy例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值（单价）是一定的，我们就说，总价和数量是成正比例的量。工总工时＝工效（一定）工总和工时是成正比例的量路程时间＝速度（一定）所以路程与时间成正比例。（2）反比例两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示一定的量，那么反比例关系可以写成：x×y=k（一定）例如，长×宽＝面积（一定）长和宽是成反比例的量每本的页数×装订的本数＝纸的总页数（一定）每本的页数和装订的本数是成反比例的量掌握：我们研究的一定是两个量，无论什么公式都至少有三个量，我们前面说过，要研究两个量的关系，一定要固定第三个量，也就是说让它不变，这是本单元的核心所在，如果第三个量不固定，就谈不上什么正比例还是反比例知识点二：正比例和反比例有什么相同点和不同点？（1）相同点：正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系，即一种量变化，另一种量也随着变化。（2）不同点：正比例是两种相关联的量一种量扩大几倍，另一种量就扩大相同的倍数，两个数的比值（商）一定；反比例是两种相关联的量一个量扩大几倍，另一个量就缩小几倍，两个数的积一定。知识点三：正反比例的图像1、某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时┈┈各造纸多少吨？1）把下表填写完整。造纸时间/时1234……造纸吨数/吨1.5……（2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。吨数/吨65432101234567时间/时（3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？（4）根据图像判断，5小时造纸多少吨？2、（正比例的图像）磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。时间/分1234567……路程/千米7142128354249……（1）图中的点A表示时间为1分钟时，磁悬浮列车驶过的路程为7千米。请你试着描出其他各点。（2）连接各点，它们在一条直线上吗？（3）根据图像判断，列车运行2分半钟时，行驶的路程是多少千米？行驶30千米大约需要几分钟？路程/千米42352821147●A01234567时间/分知识点四:判断正反比例判断两种量是否成正比例的应用方法：1、判断两个是否相关联2、判断这两个量的比值是否一定，比值一定就成正比例关系；反之不成正比例关系。3、（简说：用除法，商一定，成正比)判断两种量是否成反比例的应用方法：1、判断两个是否相关联；2、判断这两个量的积是否一定，积一定就成反比例关系；反之不成反比例关系。2、（简说：用乘法，积一定，成反比）例：【典型例题】工作总量一定，工效和时间成反比例工效一定，工作总量和时间成正比例时间一定，工作总量和工效成正比例总价一定，单价和数量成反比例单价一定，总价和数量成正比例数量一定，总价和单价成正比例总产量一定，单产量和数量成反比例单产量一定，总产量和数量成正比例数量一定，总产量和单产量成正比例煤的总量一定，每天的烧煤量和烧的天数成反比长方形面积一定，它的长和宽成反比树的总棵数一定，每行种的棵数与行数成反比每天看书页数一定，天数和看书的总页数成正比分数的值大小一定，这个分数的分子与分成正比单价一定，数量和总价成正比正方形的边长和它的面积成正比工作时间一定，工作效率和工作总量成正比路程一定，速度和时间成反比一堆货物一定，运出的和剩下的成反比煤的总量一定，每天的烧煤量和烧的天数成反比长方形面积一定，它的长和宽成反比树的总棵数一定，每行种的棵数与行数成反比反比例：1.百米赛跑，路程100米不变，速度和时间是反比例；2.排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数是反比例；3.做纸盒子，总个数一定，每人做的个数和人数成反比例；4.买东西（实际就用文具用品），总钱数一定，它的单价和数量是反比例；5.长方形的面积一定，长和宽是反比例；6.长方体的体积一定，底面积和高是反比例。7.等分一块蛋糕，每人分到的蛋糕与人数成反比例。8.总价一定,单价与数量成反比例.9.长方体体积一定,底面积与高成反比例10.总纸盒一定,每人做的个数与人数成反比例1、总产量一定，每公顷的产量和公顷数是不是成反比例？为什么？2、和一定，一个加数和另一个加数成反比例。点评：有些相关联的量，虽然也是一种量变化，另一种量也随着变化，但它们不是积一定，也不是比值一定，它们就不成比例。像这样的还有：人的跳高高度和身高；减数一定，被减数和差等。（1）长方形的面积一定，长和宽成反比例吗？为什么？（2）长方形的周长一定，长和宽成反比例吗？为什么？分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，每两种量的比例关系。（1）大米的总千克数一定，每天吃的千克数和天数；（2）每天吃的千克数一定，大米的总千克数和天数；（3）天数一定，大米的总千克数和每天吃的千克数。（1）因为每天吃的千克数×天数=大米的总千克数（一定），所以大米的总千克数一定时，每天吃的千克数和天数成反比例。（2）因为天数大米的总千克数=每天吃的千克数（一定），所以每天吃的千克数一定时，大米的总千克数和天数成正比例。（3）因为每天吃的千克数大米的总千克数=天数（一定），所以天数一定时，大米的总千克数和每天吃的千克数成正比例。练习：（判断是否成反比例）2、用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。如果要装订500本，每本有X页。题中（）量一定，关系式：（）○（）＝（）（一定），（）和（）成（）比例。3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需要640块。如果改用边长0.4米的正方形地砖，需要Y块。题中（）量一定，关系式：（）○（）＝（）（一定），（）和（）成（）比例。4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中当底面周长一定时，（）与（）成（）比例；当高一定时，（）与（）成（）比例；当侧面积一定时，（）与（）成（）比例。5、在被除数、除数、商这三种量中，当（）一定时，（）与（）成正比例；当（）一定时，（）与（）成反比例；6、在行程问题中，当路程一定时，（）与（）成反比例；当速度一定时，（）与（）成正比例当时间一定时，（）与（）成正比例6、当a×b＝c（a、b、c为三种量，且均不为0）。()一定，（）与（）成（）比例；（）一定，（）与（）成（）比例；（）一定，（）与（）成（）比例；7、判断。（1）、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。（）（2）、图上距离和实际距离成正比例。（）（3）、X和Y表示两种变化的相关联的量，同时5X－7Y＝0，X和Y不成比例。（）（4）、分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。（）（5）、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。（）（6）、两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。（）（7）订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。()（8）在400米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。()（9）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。()（10）正方体的棱长和体积成正比例。()（11）被除数一定，除数和商成反比例。()（12）圆的周长和它的直径成正比例。()（13）路程与时间成正比，时间与速度成反比。()8、判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。（1）、装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数（）。（2）、正方形的边长和周长（）。（3）、水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间（）。（4）、房间面积一定，每块砖的面积和铺砖的块数（）。（5）、在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数（）。（6）、在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数（）。9、思考：明明三岁时体重12千克，十一岁时体重44千克。于是小张就说：“明明的体重和身高成正比例。”你认为小张的说法对吗？为什么？10、某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时┈┈各造纸多少吨？（1）把下表填写完整。造纸时间/时1234……造纸吨数/吨1.5……（2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。吨数/吨65432101234567时间/时（3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？（4）根据图像判断，5小时造纸多少吨？题型一：根据图标填写信息例1：购买面粉的重量和钱数如下表，根据表填空。重量（千克）123456…总价（元）1.93.85.77.69.511.4…（1）()和()是两种相关联的量，（）随着（）的变化而变化。（2）与总价7.6元相对应的重量是（）千克；与6千克相对应的总价是（）元。（3）总价与重量中相对应的两个数的比值所表示的意义是（）。（4）因为比值一定，所以表中总价和重量叫做成（）的量。题型二：根据关系式正比例反比例的判断例2：判断下面两种相关联的量成不成比例，如果成比例，成什么比例。（1）瓷砖面积一定，瓷砖的块数和瓷砖的面积。（2）铺地面积一定，每块砖的面积和所需块数。（3）铺地面积一定，方砖的边长和所需块数。（1）生产总时间一定，生产一个零件的时间和个数。（2）生产一个零件的时间一定，生产零件的总时间和个数。（1）圆的周长和半径。（2）圆的周长一定，圆周率和直径。（3）圆的面积和半径的平方。例3：判断下面各题中的两种量成不成比例（在括号里填上“成正比例”或“不成正比例”）。（1）正方形的面积和边长。（）（2）比的前项一定，比的后项和比值。（）（3）人的体重和身高。（）（4）每本书的单价一定，买书的本数与总价。（）（5）出粉率一定，小麦的重量和出粉重量。（）（6）正方体的体积和棱长。（）（7）产品合格率一定，产品合格数和产品总数。（）（8）工作时间一定，工作总量和工作效率。（）例4：判断下面每题中的两种量成什么比例关系，并说明理由。（1）每公顷施肥量一定，施肥总量与公顷数。（2）每台织布机的每小时织布的米数一定，织布的总米数和所用的小时数。（3）汽车行1千米的耗油量一定，汽车所行路程和总耗油量。（4）同一辆汽车所行驶的路程和车轮转数。例题9：判断下列各题的两种量是否成比例？如果成，成什么比例？（1）工作效率一定，工作时间和工作总量。（）（2）货物总数一定，每次运货吨数和运货次数。（）（3）路程一定，已走路程和剩下路程。（）（4）圆的半径和面积。（）（5）平行四边形的底和面积。（）（6）在太阳照射下，同时同地的竿高和影长。（）（7）煤的总量一定，每天烧煤量和可烧的天数。（）（8）a·b＝c，c一定，a和b。（）（9）分数值一定，分子和分母。（）（10）路程一定，车轮的直径和转动的周数。（）【巩固练习】（1）比例尺一定，图上距离与实际距离成（）比例。（2）圆的半径和面积（）比例。（3）三角形的高一定，它的面积和底成（）比例。（4）订阅《中国少年报》的钱数和份数成（）比例。（5）圆的直径和周长成（）比例。（6）差一定，被减数和减数（）比例。（7）圆锥的高一定，底面积和它的体积（）比例。(1)每公顷的施肥量一定，施肥总量与公顷数成()比例。(2)要修的路程一定，每天修的路程与天数成()比例。(3)肥料总数一定，每平方米施肥量和平方米成()比例。(4)钱的总数一定，铅笔数量和单价成()比例。(5)制造一批零件的个数一定，制造一个零件的时间和需要的总时间成()比例。A．成正比例B．成反比例C．不成比例(1)平行四边形的底一定，高和面积。()(2)积一定，一个因数与另一个数。()(3)一本书的页数一定，已看的页数和没看的页数。()(4)工作效率一定，工作总量和工作时间。()下面各题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例，并说明理由。1、每个小朋友分的饼干数一定，饼干数的总块数和分的人数。2、每箱梨的重量一定，箱数和总重量。3、正方形的