数列求通项公式的常见题型与解题方法

数列求通项公式的常见题型与解题方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起．探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现．本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法．数列这一章的主要章节结构为：近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式．（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合．（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主．试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大．我仅对数列求通项公式这一部分内容做一个浅显的分析与提炼．题型1已知数列前几项求通项公式在我们的教材中，有这样的题目：1．数列0,2,0,2的通项na02为奇数为偶数nn．2．数列1111,,,12233445的通项na11(1)（）nnn．3．数列222213571,1,1,12468的通项na12211(2)1+（）nnn．此题主要通过学生观察、试验、合情推理等活动，且在此基础上进一步通过比较、分析、概括、证明去揭示事物的本质，从而培养学生数学思维能力．相对于填空题或是选择题只需利用不完全归纳法进行猜想即可；对于解答题，往往还需要我们进一步加以证明．例如（2003年全国高考）已知数列na满足1111,3(2)nnnaaan．(Ⅰ)求：23,aa；(Ⅱ)证明：312nna．分析：问题（１）主要渗透一般化特殊化，利用已知的递推公式求具体．问题（２）与问题（１）紧密相连，可以从特殊入手，归纳论证相结合，求一般．当然还可用后面介绍的方法即注意到进行113(2)nnnaan，由特殊化归为等比数列等加以证明．本题贯穿特殊化与一般化的思维方法，实质上是归纳中的综合．课堂中我们还可以设计如下例题及练习，训练学生这方面的技能．例1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：例2.观察下面数列的特点，写出每个数列的一个通项公式：练习１:写出下面数列的一个通项公式：练习２．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表．观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内．年龄（岁）3035404550556065收缩压（水银柱毫米）110115120125130135（140）145舒张压（水银柱毫米）707375788083（85）88练习３．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n个图中有__n2-n+1_个点．（1）（2）（3）（4）（5）相关的高考试题有：（2004年全国卷）已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项1___na12nn，．分析：由已知，211aa．由1321)1(32nnanaaaa生成23211)2(32nnanaaaa两式相减得：11)1(nnnanaa，即naann1为商型的，用累乘法可得131222(1)43,nnnnnnaaaaannaaaa即2nna．2222221314151(1),,,(;234151)1nnan1111(2),,,.122334411)()5(1nnann((1)(65)1)1,7,13,19,;nnan(2)7,77,777,7777,7777(101)977,;nna(3)5,0,5,0,5,0,5,0,.5sin2nna(3)5,0,5,0,5,0,5,0,.5sin2nna31313(1)1,,,,,1(1),24562;3nnan31537(2),,,,,.5211717232nnan。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。…（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以()fn表示第n堆的乒乓球总数，则(3)_0_1f；1(()___(6_1)2)nnnfn（答案用n表示）.题型2由an与Sn的关系求通项公式在我们的教材中，有这样的题目：１．已知数列{}na的前n项和21()2nSnn，则nan．２．已知数列{}na的前n项和32nnS，则na152n12nn，，．这类题目主要注意ns与na之间关系的转化．即：na=11nnSSS(n=1)(n2)na=nkkkaaa211)(．一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式．例如：（04年浙江）设数列{an}的前项的和Sn=31（an-1）(nN)．(Ⅰ)求a1；a2；(Ⅱ)求证数列{an}为等比数列．解:(Ⅰ)由)1(3111aS,得)1(3111aa∴1a21又)1(3122aS,即)1(31221aaa,得412a.(Ⅱ)当n1时,),1(31)1(3111nnnnnaaSSa得,211nnaa所以na是首项21,公比为21的等比数列．课堂中我们还可以设计如下例题及练习，训练学生这方面的技能．例3.数列{an}的前n项和Sn=3·2n-3,求数列的通项公式.132nna练习1：设数列{an}的前n项和为Sn=2n2+3n+2，求通项an的表达式，并指出此数列是否为等差数列.na741n12nn，，练习2：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且nan+1=Sn+n(n+1)，求an．相关的高考试题有：2nan(2004全国卷)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=2an+(-1)n,n≥1．（Ⅰ）写出求数列{an}的前3项a1,a2,a3；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数m4，有4511178maaa..解：⑴当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1)a1=1；当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；综上可知a1=1,a2=0,a3=2；⑵由已知得：1112(1)2(1)nnnnnnnaSSaa化简得：1122(1)nnnaa上式可化为：1122(1)2[(1)]33nnnnaa故数列{2(1)3nna}是以112(1)3a为首项,公比为2的等比数列.故121(1)233nnna∴121222(1)[2(1)]333nnnnna数列{na}的通项公式为：22[2(1)]3nnna.⑶由已知得：232451113111[]221212(1)mmmaaa23111111[]2391533632(1)mm11111[1]235112111111[1]2351020511(1)1452[]12312m514221[]23552m51311131041057()1552151201208m.故4511178maaa(m4).（2006年湖北卷）已知二次函数()yfx的图像经过坐标原点，其导函数为'()62fxx，数列{}na的前n项和为nS，点(,)()nnSnN均在函数()yfx的图像上．（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）设11nnnbaa，nT是数列{}nb的前n项和，求使得20nmT对所有nN都成立的最小正整数m．点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力．解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx(a≠0),则f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得a=3,b=－2,所以f(x)＝3x2－2x.又因为点(,)()nnSnN均在函数()yfx的图像上，所以nS＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－)1(2)132nn（＝6n－5.当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（nN）.（2006年安徽卷）数列na的前n项和为nS，已知211,1,1,2,2nnaSnannn．（Ⅰ）写出nS与1nS的递推关系式2n，并求nS关于n的表达式；（Ⅱ）设1/,nnnnnSfxxbfppRn，求数列nb的前n项和nT．解：由21nnSnann2n得：21()1nnnSnSSnn，即221(1)1nnnSnSnn，所以1111nnnnSSnn，对2n成立．由1111nnnnSSnn，121112nnnnSSnn，…，2132121SS相加得：1121nnSSnn，又1112Sa，所以21nnSn，当1n时，也成立．（Ⅱ）由111nnnnSnfxxxnn，得/nnnbfpnp．而23123(1)nnnTpppnpnp，234123(1)nnnpTpppnpnp，23111(1)(1)1nnnnnnppPTpppppnpnpp．题型3已知数列递推公式求通项公式在我们的教材中，还有这样的类型题：1．已知数列{}na的首项11a，且13(2)nnaan，则na3n-2．2．已知数列{}na的首项11a，且123(2)nnaan，则na1433n．3．已知数列{}na的11a，22a且121()(3)2nnnaaan，则1limnxnaa1．4．已知数列{}na的11a，22a且212nnnaaa,则nan．这类问题是通过题目中给定的初始值和递推公式，在熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式的推导方法的基础上，产生的一系列变式．我们应清楚的意识到：1．证明数列na是等差或等比数列常用定义，即通过证明11nnnnaaaa(2)n或11nnnnaaaa(2)n而得．2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解．3.等差数列、等比数列求通项公式涉及的迭代、累加、累乘、构造等方法．我们具体进行如下分析：一、由等差，等比演化而来的“差型”，“商型”递推关系题组一：数列{}na中，111,2nnaaa，求{}na的通项公式．21nan变式1：数列{}na中，111,nnaaan，求{}na的通项公式．211122nann变式2：数列{}na中，1111,3nnnaaa，求{}na的通项公式．1312nna变式3：已知数列{}na满足11a，1111nnaa，求na．