高三文科数学数列专题练习

1高三文科数学数列专题练习1.已知数列nanN是等比数列,且130,2,8.naaa(1)求数列na的通项公式;(2)求证:11111321naaaa；(3)设1log22nnab,求数列nb的前100项和.1.解：(1)设等比数列na的公比为q.则由等比数列的通项公式11nnaaq得3131aaq,284,2q又0,22naqLL分数列na的通项公式是12223nnna分LL.123231111211111112221222212nnnaaaaLL11,2n6分LL11,117,2nn分QLL123111118.naaaa分LLL2132log21219,212112,,nnnnnbnbbnnb由分又常数数列是首项为3,公差为2的等差数列11分LLQLL数列nb的前100项和是100100991003210200122S分LL22.数列{an}中，18a，42a，且满足21nnaa常数C(1)求常数C和数列的通项公式；(2)设201220||||||Taaa，(3)12||||||nnTaaa,nN2．解：（1）C2102nan＝－，－1256125671251256720520(2)|||||||||=(+a)=2()(++a)=2SS=260nnnTaaaaaaaaaaaaaaaaaa｜－－－(3)229,5409,5nnnnTnnn－－3.已知数列nn2,na=2n1,n为奇数；－为偶数；，求2nS12321352124621352-12()()2(14)(-12222)(3711)341422(41)23nnnnnnnSaaaaaaaaaaaannnnn－3.解：－）（＋＋＋－－4.已知数列na的相邻两项1,nnaa是关于x的方程022nnbxxn(N)*的两根,且11a.3(1)求证:数列nna231是等比数列;(2)求数列nb的前n项和nS.4.解：证法1:∵1,nnaa是关于x的方程022nnbxxn(N)*的两根,∴.,211nnnnnnaabaa由nnnaa21,得nnnnaa23123111,故数列nna231是首项为31321a,公比为1的等比数列.证法2:∵1,nnaa是关于x的方程022nnbxxn(N)*的两根,∴.,211nnnnnnaabaa∵nnnnnnnnnaaaa23123122312311111231231nnnnaa,故数列nna231是首项为31321a,公比为1的等比数列.(2)解:由(1)得1131231nnna,即nnna1231.∴111121291nnnnnnnaab1229112nn.∴nnaaaaS321nn11122223123221122311nn.45.某种汽车购车费用10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，…，各年的维修费平均数组成等差数列，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年时，年平均费用最少）？6.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？7.在等比数列{an}(n∈N*)中，已知a1＞1，q＞0．设bn=log2an，且b1＋b3＋b5=6，b1b3b5=0．(1)求数列{an}、{bn}的通项公式an、bn；(2)若数列{bn}的前n项和为Sn，试比较Sn与an的大小．5111213515561355132131323322522111(1),,1,0,{},log,01,1,0.60,6,log6,264,164,8.81,.16.2nnnnnnnaaqaqababbbaabbbbbbbaaaaaaaaqqqaaqaaaq7.解∶由题设有数列是单调数列又及知必有即由及得即即由得115214116()2log5.(6)2()(9)(2)(1),5,.229,0,0,;12,47;168,;111345678,91010974,421,248nnnnnnnnnnnnnnnnnbannbbnnbnSnSaaSnSaaSnSaaS；分由知当≥时≤当或时或或当时、、、、、、、、、、、、、、、.,129,;345678,.(13)nnnnnnnaSnaS综上所述当或或≥时有当时有分、、、、、8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上。（1）求a1和a2的值；（2）求数列{an}，{bn}的通项an和bn；（3）设cn=an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn。8.解：（1）∵an是Sn与2的等差中项∴Sn=2an-2∴a1=S1=2a1-2，解得a1=2a1+a2=S2=2a2-2，解得a2=4···3分（2）∵Sn=2an-2，Sn-1=2an-1-2，又Sn—Sn-1=an，*),2(Nnn∴an=2an-2an-1，∵an≠0，6∴*),2(21Nnnaann，即数列{an}是等比树立∵a1=2，∴an=2n∵点P(bn，bn+1)在直线x-y+2=0上，∴bn-bn+1+2=0，∴bn+1-bn=2，即数列{bn}是等差数列，又b1=1，∴bn=2n-1，···8分（3）∵cn=(2n-1)2n∴Tn=a1b1+a2b2+····anbn=1×2+3×22+5×23+····+(2n-1)2n，∴2Tn=1×22+3×23+····+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1因此：-Tn=1×2+(2×22+2×23+···+2×2n)-(2n-1)2n+1，即：-Tn=1×2+(23+24+····+2n+1)-(2n-1)2n+1，∴Tn=(2n-3)2n+1+69.已知数列na的前n项和为11,4nSa且1112nnnSSa，数列nb满足11194b且13nnbbn(2)nnN且．（１）求na的通项公式；（２）求证：数列nnba为等比数列;（３）求nb前n项和的最小值．9.解：(1)由112221nnnSSa得1221nnaa,112nnaa……2分∴111(1)24naandn……………………………………4分(2)∵13nnbbn,∴11133nnbbn,∴1111111111113()3324364324nnnnnbabnnbnbn;711111113(1)2424nnnnbabnbn∴由上面两式得1113nnnnbaba,又1111913044ba∴数列nnba是以-30为首项,13为公比的等比数列.…………………8分(3)由(2)得1130()3nnnba，∴11111130()30()3243nnnnban12111111130()(1)30()243243nnnnbbnn=221111130()(1)20()023323nn，∴nb是递增数列………11分当n=1时,11194b0；当n=2时,23104b0；当n=3时,351043b0；当n=4时,471049b0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.且31101(135)3010414312S…………………………13分10.已知等差数列an的前9项和为153．（1）求5a；（2）若，82a，从数列an中，依次取出第二项、第四项、第八项，……，第2n项，按原来的顺序组成一个新的数列cn，求数列cn的前n项和Sn.10.解：（1）15392292)(955919aaaaS175a………5分（2）设数列an的公差为d，则35174811512dadaadaa823nan………9分Saaaannnnn2482132482232……·()26n…12分11.已知曲线C：xye（其中e为自然对数的底数）在点1,Pe处的切线与x轴交于点1Q，过点1Q作x轴的垂线交曲线C于点1P，曲线C在点1P处的切线与x轴交于点2Q，过点2Q作x轴的垂线交曲线C于点2P，……，依次下去得到一系列点1P、2P、……、nP，设点nP的坐标为,nnxy（*nN）．（Ⅰ）分别求nx与ny的表达式；（Ⅱ）求1niiixy．11.解：（Ⅰ）∵xye，∴曲线C：xye在点1,Pe处的切线方程为1yeex，即yex．此切线与x轴的交点1Q的坐标为0,0，∴点1P的坐标为0,1．……2分∵点nP的坐标为,nnxy（*nN），∴曲线C：xye在点nP,nnxy处的切线方程为nnxxnyeexx，……4分令0y，得点1nQ的横坐标为11nnxx．∴数列nx是以0为首项，1为公差的等差数列．∴1nxn，1nnye．（*nN）……8分（Ⅱ）∴1122331.........niinnixyxyxyxyxy1234101232122112234........(1)(1)234........(1)(2)(1)(2)(1)1........(1)1(1)[1](1)(1nnnnnnSeeeeneeSeeeeneeSeeeneeneSee－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－得到：－－－－－－－－)e……14分912.在数列)0,(2)2(,2111Nnaa，aannnnn中（1）求证：数列2{()}nnna是等差数列；（2）求数列na的前n项和nS；12.解：（1）由1*1(2)2,(,0)nnnnaanN，可得11122()()1nnnnnnaa所以2{()}nnna是首项为0，公差为1的等差数列.（2）解：因为2()1nnnan即*(1)2,()nnnannN设2312(2)(1)nnnTnn……①3412(2)(1)nnnTnn……②当1时，①②得2341(1)(1)nnnTn211(1)(1)1nnn