上海高考数列大题整理

（2012春）22.(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知数列{}{}{}nnnabc、　、　满足*11()()().nnnnnaabbcnN（1）设36,{}nncna是公差为3的等差数列.当11b时，求23bb、的值；（2）设32,8.nncnann求正整数,k使得一切*,nN均有;nkbb（3）设1(1)2,.2nnnncna当11b时，求数列{}nb的通项公式.22、（18分）已知数列{}na和{}nb的通项公式分别为36nan，27nbn（*nN），将集合**{|,}{|,}nnxxanNxxbnN中的元素从小到大依次排列，构成数列123,,,,,ncccc。⑴求1234,,,cccc；⑵求证：在数列{}nc中、但不在数列{}nb中的项恰为242,,,,naaa；⑶求数列{}nc的通项公式。22、⑴12349,11,12,13cccc；⑵①任意*nN，设213(21)66327nkannbk，则32kn，即2132nnab②假设26627nkanbk*132knN（矛盾），∴2{}nnab∴在数列{}nc中、但不在数列{}nb中的项恰为242,,,,naaa。⑶32212(32)763kkbkka，3165kbk，266kak，367kbk∵63656667kkkk∴当1k时，依次有111222334,,,bacbcacbc，……∴*63(43)65(42),66(41)67(4)nknkknkckNknkknk。1-1-11yxOBA23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分,第3小题满分6分．对于给定首项300xaa，由递推式112nnnaxxxnN得到数列nx，且对于任意的nN,都有3nxa，用数列nx可以计算3a的近似值．(1)取05x，100a，计算123,,xxx的值（精确到0.01），归纳出nx，1nx的大小关系；(2)当1n时，证明1112nnnnxxxx；(3)当05,10x时，用数列nx计算3100的近似值，要求4110nnxx，请你估计n，并说明理由．【解】(1)1234.74,4.67,4.65xxx，猜想1nnxx；(2)1112nnnnxxxx1111222nnnnnaxxxxx11122nnnaxxx111111222nnnnaaxxxx11122nnaaxx112nnnnxxaxx，①因为3nxa，所以311110222nnnnnnnnnxaaaxxxxxxxx，所以1nnxx．由①式，11111022nnnnnnnnxxaxxxxxx，所以1112nnnnxxxx．(3)由(2)1121120121111102222nnnnnnnnxxxxxxxxxx,所以只要4011102nxx即可,于是401210nxx，因为01001102xxxx，所以421010log1015.12n．所以16n．20.(本题满分13分)本题共有2个小题，第一个小题满分5分，第2个小题满分8分。已知数列na的前n项和为nS，且585nnSna，*nN（1）证明：1na是等比数列；（2）求数列nS的通项公式，并求出n为何值时，nS取得最小值，并说明理由。解析：(1)当n1时，a114；当n≥2时，anSnSn15an5an11，所以151(1)6nnaa，又a1115≠0，所以数列{an1}是等比数列；(2)由(1)知：151156nna，得151156nna，从而1575906nnSn(nN*)；解不等式SnSn1，得15265n，562log114.925n，当n≥15时，数列{Sn}单调递增；同理可得，当n≤15时，数列{Sn}单调递减；故当n15时，Sn取得最小值．23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。已知na是公差为d的等差数列，nb是公比为q的等比数列。（1）若31nan，是否存在*mkN、，有1?mmkaaa说明理由；（2）找出所有数列na和nb，使对一切*nN,1nnnaba,并说明理由；（3）若115,4,3,adbq试确定所有的p，使数列na中存在某个连续p项的和是数列nb中的一项，请证明。23．[解法一]（1）由1mmkaaa，得6531mk，．．．．．．2分整理后，可得423km，m、kN，2km为整数，不存在m、kN，使等式成立。．．．．．．5分（2）若1nnaba，即1111(1)nandbqand，（*）（ⅰ）若0,d则111nnbqb。当{na}为非零常数列，{nb}为恒等于1的常数列，满足要求。．．．．．．7分（ⅱ）若0d，（*）式等号左边取极限得11lim1(1)nandand，（*）式等号右边的极限只有当1q时，才能等于1。此时等号左边是常数，0d，矛盾。综上所述，只有当{na}为非零常数列，{nb}为恒等于1的常数列，满足要求。．．．．．．10分【解法二】设1,,nnnnnaandcbba若且为等比数列则*221211/,nnnnnnnaaqnNaaqaaa对都成立，即2()(2)()dncdndcqdndc*22....7nNaqd对都成立，分（i）若d=0，则*0,1,nnacbnN（ii）若0,d则q=1,nbm（常数）即dndcmdnc，则d=0，矛盾综上所述，有nnnnnbaaNbca1*,n,1,0使对一切，10分（3）*,3,14Nnbnannn设NmNkpbaakkpmmm,,3a*21、.kppmm321)(41)1(4，NspNpppmk,3*,k,33245、.13分取,03)14(2)14(33234,232222ssssmsk15分由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1,,2)1(8)14(22ssM.,21)1()2(4421满足要求存在整数mMMms故当且仅当p=3s,sN时，命题成立.说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）若p为偶数，则am+1+am+2+……+am+p为偶数，但3k为奇数故此等式不成立，所以，p一定为奇数。当p=1时，则am+1=bk,即4m+5=3k，而3k=(4-1)k=,,)1(4)1()1(4)1(4411110ZMMCCCCkkkkkkkkkkk当ｋ为偶数时，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立1分当p=3时，则am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk,也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m,4m+9=3k成立2分当p=5时，则am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在故不是所有奇数都成立.2分17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知数列na的前n项和为nS，11a，且3231nnSa（n为正整数）.（1）求数列na的通项公式；（2）记naaaS21.若对任意正整数n，nSkS恒成立，求实数k的最大值.解：（1）3231nnSa，①当2n时，3231nnSa.②潜在的知识与方法需求（数列与函数的关系）由①-②，得02331nnnaaa.数学模式识别能力（)21nnnSSan时311nnaa)2(n.准备知识需求（等式的性质）又11a，32312aa，解得312a.能力需求（计算能力）数列na是首项为1，公比为31q的等比数列.显现的知识与方法需求（等比数列的定义）11131nnnqaa（n为正整数）.显现的知识与方法需求（等比数列的通项公式）（2）由（1）知，23311111qaS，显现的知识与方法需求（无穷等比数列各项和）nnnnqqaS31123311311111.显现的知识与方法需求（等比数列前n项和）由题意可知，对于任意的正整数n，恒有nk3112323，解得nk311.准备知识（不等式性质）数列n311单调递增，当1n时，数列中的最小项为32，潜在的知识与方法需求（数列与函数的关系）必有32k，即实数k的最大值为32.数学模式识别能力（等式恒成立的条件）21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分。已知1a为首项的数列{}na满足:1,3,,3,nnnnnacaaaad.(1)当11,1,3acd时，求数列{}na的通项公式；（2）当101,1,3acd时，试用1a表示数列{}na前100项的和100S；（3）当110,am（m是正整数），1cm，正整数3dm时，求证：数列21am，321mam，621mam，921mam成等比数列当且仅当3dm。21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。在直角坐标平面xOy上的一列点),,(,),,2(),,1(2211nnanAaAaA，简记为nA。若由jAAbnnn1构成的数列nb满足,2,1,1nbbnn，其是j为方向与y轴正方向相同的单位向量，则长nA为T点列。（1）判断,1,,,31,1,21,2),1,1(321nnAAAAn，是否为T点列，并说明理由；（2）若nA为T点列，则点2A在点1A的右上方。任取其中连续三点kA、1kA、2kA。判断21kkkAAA的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若nA为T点列，正整数qpnm1满足pnqm，求证：jAAjAApmqn21．[解]（1）)1(1111,1nnnnbnann，显然有nnbb1，nA是T点列。……3分（2）在21kkkAAA中，),1(),,1(122111kkkkkkkkaaAAaaAA，))((1112211kkkkkkkkaaaaAAAA。……5分∵点2A在点1A的右上方，0121aab，nA为T点列，01bbn，0))((1112kkkkk