高三数学解三角形1

解三角形1（一）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(二)应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明．第1课时三角形中的有关问题1．正弦定理：利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：⑴已知两角和一边，求其他两边和一角；⑵已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．2．余弦定理：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题．⑴已知三边，求三角；⑵已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角．3．三角形的面积公式：例1.在△ABC中，已知a＝3，b＝2，B＝45°，求角A、C及边c．解三角形正弦定理余弦定理正弦定理的变形形式余弦定理的变形形式解三角形应用举例测量实习典型例题基础过关知识网络考纲导读高考导航解A1＝60°C1＝75°c1＝226A2＝120°C2＝15°c2＝226变式训练1：(1)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且2ca，则cosB（）A．14B．34C．24D．23解：B提示：利用余弦定理（2）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A.0020,45,80bACB.030,28,60acBC.014,16,45abAD.012,15,120acA解：C提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解（3）在△ABC中，已知5cos13A，3sin5B，则cosC的值为（）A1665B5665C1665或5665D1665解：A提示:在△ABC中，由sinsinABAB知角B为锐角（4）若钝角三角形三边长为1a、2a、3a，则a的取值范围是．解：02a提示：由222(1)(2)3(1)(2)(3)aaaaaa可得（5）在△ABC中，060,1,3,sinsinsinABCabcAbSABC则=．解：2393提示：由面积公式可求得4c，由余弦定理可求得13a例2.在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．解：sinA＝2sinBcosCsin(B＋C)＝2sinBcosCsin(B－C)＝0B＝Csin2A＝sin2B＋sin2Ca2＝b2＋c2∠A＝90°∴△ABC是等腰直角三角形。变式训练2：在△ABC中，sinA=CBCBcoscossinsin，判断这个三角形的形状.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a=abcbacabaccb22222222，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.例3.已知在△ABC中，sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C．解：由sinA(sinB＋cosB)－sinC＝0，得sinAsinB＋sinAcosB－sin(A＋B)＝0，所以sinB(sinA－cosA)＝0∵B∈(0,π),∴sinB≠0,∴cosA＝sinA，由A∈(0,π)，知A＝4从而B＋C＝43，由sinB＋cos2C＝0得sinB＋cos2(43－B)＝0cos＝(23－2B)＝cos[2π－(2＋2B)]＝cos(2＋2B)＝－sin2B得sinB－sin2B＝0，亦即sinB－2sinBcosB＝0，由此各cosB＝21，B＝3，C＝125∴A＝4B＝3C＝125变式训练3：已知△ABC中，22（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为2.（1）求∠C；（2）求△ABC面积的最大值.解：（1）由22（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB得22（224Ra－224Rc）=（a－b）Rb2.又∵R=2，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC=abcba2222=21.又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.（2）S=21absinC=21×23ab=23sinAsinB=23sinAsin（120°－A）=23sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+3sin2A=23sin2A－23cos2A+23=3sin（2A－30°）+23.∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=233.例4.如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G．设∠MGA＝(323)．(1)试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）表示为的函数；(2)求y＝222111SS的最大值与最小值．解(1)AG＝33，∠6MAG由正弦定理得)6sin(63GM，)6sin(63GN)6sin(12sin1S，)6sin(12sin2S(2))cot3(721122221SSy∵323∴当240323maxy时或当2162miny时变式训练4：在在△ABC中，,,ABC所对的边分别为,,abc，，且1cos3A（1）求2sincos22BCA的值；（2）若3a，求bc的最大值；解：（1）因为1cos3A，故2sincos22BCA21[1cos()](2cos1)2BCA21(1cos)(2cos1)2AA1121(1)(1)2399（2）2221cos23bcaAbc2222223bcbcabca又93,4abc，当且仅当32bc时，94bc故bc的最大值是941．已知两边和其中一边的对角求其他的边和角，这种题型可能无解、一解、两解等，要特别注意．2．三角形中含边角的恒等变形问题，通常是运用正弦定理或余弦定理，要么将其变为含边的代数式做下去，要么将其变为含角的三角式做下去，请合理选择．3．对于与测量和与几何计算有关的实际问题，可以考虑转化为解三角形的问题第2课时应用性问题1．三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）；２．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度小结归纳基础过关ANCBDMG（小结归纳问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；３．实际问题中有关术语、名称．（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角．例1．(1)某人朝正东方走xkm后，向左转1500，然后朝新方向走3km，结果它离出发点恰好3km，那么x等于（）（A）3（B）32（C）3或32（D）3解：C提示：利用余弦定理（2）甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为060，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为030，则甲、乙两楼的高分别是（）A403203,3mmB103,203mmC10(32),203mmD153203,23mm解：A（3）一只汽球在2250m的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A点处的俯角为018，汽球向前飞行了2000m后，又测得A点处的俯角为082，则山的高度为（）A1988mB2096mC3125mD2451m解：B（4）已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A向北偏东025方向，B向西偏北020方向，若A的航行速度为25nmi/h，B的速度是A的35，过三小时后，A、B的距离是．解：90.8nmi(5)货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行，航向为方位角0140NBC，A处有灯塔，其方位角0110NBA，在C处观测灯塔A的方位角035MCA，由B到C需航行半小时，则C到灯塔A的距离是解：10(62)km提示：由题意知075BCA，利用余弦定理或解直角三角形可得典型例题变式训练1：如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10×cos120°=700.于是,BC=107.∵sinsin12020107ACB,∴sin∠ACB=73,∵∠ACB90°∴∠ACB=41°∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.例2.在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南2(cos)10方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？解：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则6010tOQ由余弦定理知OPQPOPQPOPQOQcos2222由于PO=300,PQ=20t5445coscosOPQ故2222203009600OQtt21060t即2362880tt解得2412t答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时．变式训练2：如图所示,海岛A周围38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B处测得岛A在船的南偏东030方向上，船航行30海里后，在C处测得岛A在船的南偏东045方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？解：由题意得，在△ABC中，BC=30，030B，0135ACB所以015A，由正弦定理可知：sinsinBCACAB0030sin15sin30AC所以060cos15AC，于是A到BC所在直线的距离为北2010AB•C000sin4560cos15sin45AC40.9838所以船继续向南航行无触礁危险。例3.如图所示，公园内有一块边长2a的等边△ABC形状的三角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上（1）设AD()xxa，EDy，求用x表示y的函数关系式；（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE的位置应该在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又在哪里？请给予证明解：（1）在△ABC中，D在AB上，2axaS△ADE=12S△ABC02011sin60sin6024xAEAB22aAEx，在△ADE中，由余弦定理得：4222242ayxax422242(2)ayxaaxax（2）令2xt，则224ata则4242aytat令42224()2,[,4]afttataat，则4242222244(2)(2)()1atatataftttt22(,2)()0taaft当时,；22(2,4)()0taaft当时,222222()3,(2)2,(4)3faafaafaa又22,2taxa当即时,y有最小值2a，此时DE∥BC，且2ADa224,2taaxaay当或即或时,有最大值3a，此时DE为△ABC的边AB或AC的中线上变式训练3：水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达