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《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生第四章回路成形法4.1奇异值回路成形●指令跟踪与输出干扰抑制问题考虑图示反馈系统：从指令信号r到输出误差e和从输出干扰d到输出y的传递函数矩阵均为()1SIL−=+其中LPK=。为实现一定频域范围内的指令跟踪特性和输出干扰抑制特性，要求S在相应频率域中增益为充分小。对于单变量系统，则要求()()11,SjWjωωω∀∈R或()()11/,SjWjωωω∀∈R其中()1Ws为相应的加权函数，由指令信号r或输出干扰d的频谱决定。对于多变量系统，则要求()()()11/,SjWjσωωω∀∈R或()()()11,WjSjωωσω∀∈R●加性摄动鲁棒稳定问题考虑具有加性摄定时闭环系统的鲁棒稳定性。如果()sΑΔ∞∈RH，且()()()2,jWjΑσΔωωω≤∀∈R则闭环系统鲁棒稳定的充要条件为：控制器K内稳定P，且()()()12,RjWjσωωω−∀∈R+()Ps()Ksdyure+()Ps()Ksyu()sΑΔ《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生其中RKS=●乘性摄动鲁棒稳定问题考虑具有乘性摄定时闭环系统的鲁棒稳定性。如果()sΜΔ∞∈RH，且()()()3,jWjΜσΔωωω≤∀∈R则闭环系统鲁棒稳定的充要条件为：控制器K内稳定P，且()()()13,TjWjσωωω−∀∈R其中()1TLIL−=+●控制干扰抑制问题考虑图示反馈系统：从控制干扰d到输出y的传递函数矩阵为GSP=为实现一定频域范围内的控制干扰抑制特性，要求G在相应频率域中增益为充分小()()()41/,GjWjσωωω∀∈R或()()()41,WjGjωωσω∀∈R其中()4Ws为相应的加权函数，由控制干扰d的频谱决定。归纳上述讨论的结论：●指令信号跟踪和输出干扰抑制：()1SIL−=+()()()11/,SjWjσωωω∀∈R+()Ps()Ksyu()sΜΔ+()Ps()Ksdyure《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生●加性摄动鲁棒稳定RKS=()()()21/,RjWjσωωω∀∈R●乘性摄动鲁棒稳定()1TLIL−=+()()()31/,TjWjσωωω∀∈R●控制干扰抑制GSP=()()()41/,GjWjσωωω∀∈R由S和T的定义可知：TSI+=称S为灵敏度函数（sensitivityfunction），称T为补灵敏度函数（complementarysensitivityfunction）。由上述恒等式可知，灵敏度函数S和补灵敏度函数T不可能同时很小。对于实际问题，指令信号和干扰的频谱范围与系统不确定性（未建模动态）的频率范围通常是不同的。指令信号和干扰的频谱范围一般较低，假设低于Lω；而系统不确定性的频率范围一般较高，假设高于Uω；并假设LUωω即加权函数()1Ws和()4Ws一般为低通函数，而()2Ws和()3Ws一般为高通函数，如下图所示。若在某频域1Ω内，()()()()1LjPKjσωσω=，则()()()()()()()()111SjSjIPKjPKjσωσωσωσω≤=≤+−()()11,PKjωσω≈∈Ω不确定性加权函数()1Ws,()4Ws()2Ws,()3Ws《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生因此，对于指令跟踪与输出干扰抑制问题，若在指令信号r或输出干扰d的频谱范围内，即()1Wjω较大的频率处，()()1PKjσω，则要求()()()111/WjPKjωσω即()()()11,PKjWjσωωω∀∈Ω对于控制干扰抑制问题，若在()4Wjω较大的频率范围4Ω内，()()1PKjσω，则()()()()()()()()()()()()()11114,1,GjSPjPKIPKPjKjKKjσωσωσωσωωσω−−−−≤⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠≈=∈Ω若可逆因此，要求()()()44,KjWjσωωω∀∈Ω对于加性摄动和乘性摄动鲁棒稳定问题，若在()2Wjω和()3Wjω较大的频率范围2Ω和3Ω内，成立()()()231,PKjσωω∀∈ΩΩ则有()()()()()()()()()()()()()12,RjRjKIPKjKjIPKjKjσωσωσωσωσωσωω−≤=+≤+≈∈Ω和()()()()()()()()()()()()1131,TjTjPKIPKjPKjPKjσωσωσωσωσωω−−≤=+≤≈∈Ω因此，鲁棒稳定的条件可近似为()()()122,KjWjσωωω−∀∈Ω和《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生()()()133,PKjWjσωωω−∀∈Ω归纳上述讨论的结论：●指令信号跟踪和输出干扰抑制：()()()11,PKjWjσωωω∀∈Ω●加性摄动鲁棒稳定()()()221/,KjWjσωωω∀∈Ω●乘性摄动鲁棒稳定()()()331/,PKjWjσωωω∀∈Ω●控制干扰抑制()()()44,KjWjσωωω∀∈Ω低频段高频段()()()()131/WjPKjWjωσωω低频段高频段()()()()421/WjKjWjωσωω奇异值回路成形：根据性能界限、鲁棒性界限和期望剪切频率处的期望幅频特性，选取期望的回路形状（奇异值幅频特性）和相应的期望开环传递函数（矩阵）()dPs，设计控制器()Ks，使得()()()()dPKjPjσωσω≈注意：假设受控对象()Ps的零极点为,ijpz，则期望剪切频率需满足()()Re0Re0maxminijicjpzpzω≤≤ωcω()()PKjσω()()1Sjσω()()PKjσω()()Tjσω()()dPjσω()1Wjω()13Wjω−性能界限鲁棒性界限期望剪切频率期望回路形状UωLω《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生例1（NASAHiMATloop-shaping）[Robust_.pdf；p.2-11]设计要求：（1）性能要求：在低频段（()1rad/sec≤），灵敏度函数的幅值尽可能大；（2）鲁棒性要求：在100rad/sec处，斜率为20db/dec−，增益为20db−。选取期望开环传递函数为()8dPss=。%受控对象模型ag=[-2.2567e-02-3.6617e+01-1.8897e+01-3.2090e+013.2509e+00-7.6257e-01;9.2572e-05-1.8997e+009.8312e-01-7.2562e-04-1.7080e-01-4.9652e-03;1.2338e-021.1720e+01-2.6316e+008.7582e-04-3.1604e+012.2396e+01;001.0000e+00000;0000-3.0000e+010;00000-3.0000e+01];bg=[00;00;00;00;300;030];cg=[010000;000100];dg=[00;00];G=ss(ag,bg,cg,dg);%%期望的回路形状Gds=zpk('s');%LaplacevariablesGd=8/s;%desiredloopshape%%最优回路成形控制器K[K,CL,GAM]=loopsyn(G,Gd);成形前开环系统奇异值《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生成形前系统阶跃响应成形后开环系统奇异值和期望开环系统奇异值《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生成形后闭环系统奇异值成形后系统阶跃响应《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生4.2混合灵敏度函数回路成形定义混合灵敏度代价函数11yuT∞其中1113yuWSTWT⎡⎤=⎢⎥⎣⎦其中选择1W，其在低频段（cωω）具有期望的回路形状；选择3W，使得13W−在高频段（cωω）具有期望的回路形状。例2（NASAHiMATmixed-sensitivityloopshaping）[Robust_.pdf:p.2-17]%SetuptheperformanceandrobustnessboundsW1&W3s=zpk('s');%LaplacevariablesMS=2;AS=.03;WS=5;W1=(s/MS+WS)/(s+AS*WS);MT=2;AT=.05;WT=20;W3=(s+WT/MT)/(AT*s+WT);%ComputetheH-infinitymixed-sensitivityoptimalsontrollerK1[K1,CL1,GAM1]=mixsyn(G,W1,[],W3);……..%Nextcomputeanplottheclosed-loopsystem.%ComputetheloopL1,sensitivityS1andcompsensitivityT1:L1=G*K1;I=eye(size(L1));S1=feedback(I,L1);%S=inv(I+L1);T1=I-S1;%Plottheresults:%stepresponseplotsstep(T1,1.5);title('\alphaand\thetacommandstepresponses');%frequencyresponseplotsfigure;sigma(I+L1,'--',T1,':',L1,'r--',...W1/GAM1,'k--',GAM1/W3,'k-.',{.1,100});gridlegend('1/\sigma(S)performance',...'\sigma(T)robustness',...'\sigma(L)loopshape',...'\sigma(W1)performancebound',...'\sigma(1/W3)robustnesbound');《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生4.3基于正规化互质分解的回路成形●正规化互质分解对于真实有理函数矩阵()Gs，若存在()(),NsMs∞∈RH，成立()()()1GsMsNs−=()()()(),NjNjMjMjIωωωωω∗∗+=∀∈R则称()()1MsNs−为()Gs的正规化左互质分解。假设(),,,ABCD是()Gs的一最小实现，令()()1/21/21/2,AHCBHDHNsMsRCRDR−−−++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎣⎦则()()1MsNs−是()Gs的正规化左互质分解，其中()1HZCBDRRIDD∗∗−∗=−+=+Z是广义滤波代数Riccati方程的解：()()11110ABSDCZZABSDCZCRCZBSB∗−∗−∗∗−−∗−+−−+=SIDD∗=+●正规化互质分解摄动()()1MNGMN−Δ=+Δ+Δ其中[][]{},,,NMNMεε∞∞ΔΔ∈Δ=ΔΔΔ∈ΔDRH()()()()()()()()()()[][]1111111111111111111110MNMNMMMMNMMMNNMNMGMNMIMNMIMIMMNMIMGMIMGMIMIGMIMG−Δ−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−=+Δ+Δ=+Δ+Δ=+Δ+Δ−Δ++ΔΔ=++Δ−Δ++ΔΔ⎛⎞⎡⎤⎡⎤=+−Δ−ΔΔ−Δ⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎠即可描述为上线性分式变换的形式：+1M−NMΔNΔ《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生[][]()1110,NMNMuIGGMIMGFP−−Δ−⎛⎞⎡⎤⎡⎤=+−Δ−ΔΔ−Δ⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎠=Δ其中[]110NMIPMGMG−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦Δ=Δ−Δ()()()[][]122211112122211112111,0uNMNMGFPPPIPPPPIPPIGMIMGΔ−−−−−=Δ=+Δ−Δ=+−ΔΔ⎛⎞⎡⎤⎡⎤=+−Δ−ΔΔ−Δ⎜⎟⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎠●正规化互质分解不确定系统鲁棒稳定性+1M−NMΔNΔKPΔuyPΔuyKTΔ《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生()()()111122221111,0lTFPKPPKIPKPIKIGKMMG−−−−==+−⎡⎤⎡⎤=+−