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习题课:动量和能量的综合应用探究一探究二探究三滑块—木板模型问题探究如图所示,在光滑的水平面上有一质量为m0的长木板,以速度v0向右做匀速直线运动,将质量为m的小铁块轻轻放在木板上的A点,这时小铁块相对地面速度为零,小铁块相对木板向左滑动。由于小铁块和木板间有摩擦,最后它们之间相对静止,已知它们之间的动摩擦因数为μ,请同学们思考:小铁块跟木板相对静止时,它们的共同速度多大?此时小铁块与A点距离多远?这个过程中有多少机械能转化为内能?探究一探究二探究三要点提示:木板与小铁块组成的系统动量守恒。以v0的方向为正方向,由动量守恒定律得m0v0=(m0+m)v',则v'=𝑚0𝑣0𝑚0+𝑚。由功能关系可得,摩擦力在相对位移上所做的功等于系统动能的减少量,μmgx相=12m0𝑣02−12(m0+m)v'2。解得x相=𝑚0𝑣022𝜇𝑔(𝑚0+𝑚)由能量守恒定律可得Q=12m0𝑣02−12(m0+m)v'2=𝑚0𝑚𝑣022(𝑚0+𝑚)。探究一探究二探究三知识归纳1.这类问题通常都是把滑块、木板看作一个整体,摩擦力为内力,在光滑水平面上不受摩擦力,滑块和木板组成的系统动量守恒。2.由于滑块和木板之间的摩擦生热,一部分机械能转化为内能,那么系统机械能不守恒,一般由能量守恒求解。3.注意:题目中如果说明滑块不滑离木板,则最后二者以共同速度运动。探究一探究二探究三典例剖析【例题1】如图所示,光滑水平桌面上有长L=2m的挡板C,质量mC=5kg,在其正中央并排放着两个小滑块A和B,mA=1kg,mB=3kg,开始时三个物体都静止。在A、B间放有少量塑胶炸药,爆炸后A以6m/s的速度水平向左运动,A、B中任意一块与挡板C碰撞后,都粘在一起,不计摩擦和碰撞时间,求:(1)当两滑块A、B都与挡板C碰撞后,C的速度是多大;(2)A、C碰撞过程中损失的机械能。探究一探究二探究三解析:(1)A、B、C系统动量守恒,有0=(mA+mB+mC)vC,解得vC=0。(2)炸药爆炸时A、B系统动量守恒,有mAvA=mBvB,解得vB=2m/sA、C碰撞前后系统动量守恒,有mAvA=(mA+mC)v解得v=1m/sA、C碰撞过程中损失的机械能=15J。答案:(1)0(2)15J规律总结滑块在木板上滑行时二者之间的摩擦力是内力,木板在地面上不受摩擦力,即系统受合外力为零,动量守恒。ΔE=12mA𝑣𝐴2−12(mA+mC)v2探究一探究二探究三变式训练1如图所示,光滑水平面上一质量为m0、长为L的木板右端紧靠竖直墙壁。质量为m的小滑块(可视为质点)以水平速度v0滑上木板的左端,滑到木板的右端时速度恰好为零。(1)求小滑块与木板间的摩擦力大小;(2)现小滑块以某一速度v滑上木板的左端,滑到木板的右端时与竖直墙壁发生弹性碰撞,然后向左运动,刚好能够滑到木板左端而不从木板上落下,试求的值。𝑣𝑣0探究一探究二探究三解析:(1)小滑块以水平速度v0右滑时,有-FfL=0-12𝑚𝑣02解得Ff=𝑚𝑣022𝐿(2)小滑块以速度v滑上木板到运动至碰墙时速度为v1,则有-FfL=12𝑚𝑣12−12mv2滑块与墙碰撞后至向左运动到木板左端,此时滑块、木板的共同速度为v2,则有mv1=(m+m0)v2FfL=12𝑚𝑣12−12(m+m0)𝑣22上述四式联立,解得𝑣𝑣0=2𝑚0+𝑚𝑚0答案:(1)𝑚𝑣022𝐿(2)2𝑚0+𝑚𝑚0探究一探究二探究三子弹打木块模型问题探究如图所示,在光滑水平面上放置一质量为m0的静止木块,一质量为m的子弹以水平速度v0射向木块,穿出后子弹的速度变为v1,求整个系统损失的机械能。要点提示:取子弹与木块为系统,系统的动量守恒,设木块获得速度为v2,则有mv0=mv1+m0v2得v2=𝑚(𝑣0-𝑣1)𝑚0由能量守恒定律得系统损失的机械能为ΔE=12𝑚𝑣02−12𝑚𝑣12−12m0𝑣22=𝑚2𝑚0[m0(𝑣02−𝑣12)-m(v0-v1)2]。探究一探究二探究三知识归纳1.子弹打木块的过程很短暂,认为该过程内力远大于外力,则系统动量守恒。2.在子弹打木块过程中摩擦生热,系统机械能不守恒,机械能向内能转化。3.若子弹不穿出木块,二者最后有共同速度,机械能损失最多。探究一探究二探究三典例剖析【例题2】如图所示,在水平地面上放置一质量为m0的木块,一质量为m的子弹以水平速度v射入木块(未穿出),若木块与地面间的动摩擦因数为μ,求:(1)子弹射入后,木块在地面上前进的距离;(2)射入的过程中,系统损失的机械能。探究一探究二探究三解析:因子弹未射出,故碰撞后子弹与木块的速度相同,而系统损失的机械能为初、末状态系统的动能之差。(1)设子弹射入木块时,二者的共同速度为v',取子弹的初速度方向为正方向,则有mv=(m0+m)v'①二者一起沿地面滑动,前进的距离为x,由动能定理得-μ(m0+m)gx=0-12(m0+m)v'2②由①②两式解得x=𝑚2𝑣22(𝑚0+𝑚)2𝜇𝑔(2)射入过程中损失的机械能ΔE=12mv2-12(m0+m)v'2③解得ΔE=𝑚0𝑚𝑣22(𝑚0+𝑚)。答案:(1)𝑚2𝑣22(𝑚0+𝑚)2𝜇𝑔(2)𝑚0𝑚𝑣22(𝑚0+𝑚)探究一探究二探究三规律总结在子弹射入木块时,存在剧烈摩擦作用,有一部分能量将转化为内能,故在这一瞬间子弹与木块组成的系统机械能不守恒。探究一探究二探究三变式训练2如图所示的装置中,木块B与水平桌面间的接触是光滑的,子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内,将弹簧压缩到最短。现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统),则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中()A.动量守恒、机械能守恒B.动量不守恒、机械能不守恒C.动量守恒、机械能不守恒D.动量不守恒、机械能守恒探究一探究二探究三解析:在子弹射入木块这一瞬间过程,取子弹与木块为系统则可认为动量守恒(此瞬间弹簧尚未形变),但机械能有损失。子弹射入木块后木块压缩弹簧过程中,机械能守恒,但动量不守恒(墙壁对弹簧的作用力是系统外力,且外力不等于零)。若以子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统),从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短时,有摩擦力做功,机械能不守恒,弹簧固定端墙壁对弹簧有外力作用,因此动量不守恒。故正确选项为B。答案:B探究一探究二探究三弹簧类模型问题探究如图所示,A、B两个木块用轻弹簧相连接,它们静止在光滑水平面上,A和B的质量分别是99m和100m,一颗质量为m的子弹以速度v0水平射入木块A内没有穿出,则在以后的过程中弹簧弹性势能的最大值是多大?要点提示:子弹打木块A,动量守恒,有mv0=100mv1=200mv2,弹性势能的最大值Ep=12×100m𝑣12−12×200m𝑣22=𝑚𝑣02400。探究一探究二探究三知识归纳1.对于弹簧类问题,在作用过程中,系统合外力为零,满足动量守恒。2.整个过程涉及弹性势能、动能、内能、重力势能的转化,应用能量守恒定律解决此类问题。3.注意:弹簧压缩最短时,弹簧连接的两物体速度相等,此时弹簧弹性势能最大。探究一探究二探究三典例剖析【例题3】两物块A、B用轻弹簧相连,质量均为2kg,初始时弹簧处于原长,A、B两物块都以v=6m/s的速度在光滑的水平地面上运动,质量为4kg的物块C静止在前方,如图所示。B与C碰撞后二者会粘在一起运动。则在以后的运动中:(1)当弹簧的弹性势能最大时,物块A的速度为多大?(2)系统中弹性势能的最大值是多少?探究一探究二探究三解析:(1)当A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大。由A、B、C三者组成的系统动量守恒,(mA+mB)v=(mA+mB+mC)vABC,解得vABC=(2+2)×62+2+4m/s=3m/s。(2)B、C碰撞时B、C组成的系统动量守恒,设碰后瞬间B、C两者速度为vBC,则mBv=(mB+mC)vBC,vBC=2×62+4m/s=2m/s,设物块A、B、C速度相同时弹簧的弹性势能最大为Ep,根据能量守恒Ep=12(mB+mC)𝑣𝐵𝐶2+12mAv2-12(mA+mB+mC)𝑣𝐴𝐵𝐶2=12×(2+4)×22J+12×2×62J-12×(2+2+4)×32J=12J。答案:(1)3m/s(2)12J规律总结弹簧压缩最短拉伸最长时,弹簧连接的两物体速度相等,此时弹簧蓄积弹性势能最大。探究一探究二探究三变式训练3如图所示,A、B、C三个木块的质量均为m,置于光滑的水平面上,B、C之间有一轻质弹簧,弹簧的两端与木块接触而不固连。将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把B和C紧连,使弹簧不能伸展,以至于B、C可视为一个整体。现A以初速v0沿B、C的连线方向朝B运动,与B相碰并粘合在一起。以后细线突然断开,弹簧伸展,从而使C与A、B分离。已知C离开弹簧后的速度恰为v0。求弹簧释放的势能。探究一探究二探究三解析:设碰后A、B和C的共同速度的大小为v,由动量守恒定律得3mv=mv0①设C离开弹簧时,A、B的速度大小为v1,由动量守恒得3mv=2mv1+mv0②设弹簧的弹性势能为Ep,从细线断开到C与弹簧分开的过程中机械能守恒,有12(3m)v2+Ep=12(2m)𝑣12+12𝑚𝑣02③由①②③式得,弹簧所释放的势能为Ep=13𝑚𝑣02。答案:13𝑚𝑣0212341.(多选)质量为m0、内壁间距为L的箱子静止于光滑的水平面上,箱子中间有一质量为m的小物块,小物块与箱子底板间的动摩擦因数为μ,初始时小物块停在箱子正中间,如图所示。现给小物块一水平向右的初速度v,小物块与箱壁碰撞N次后恰又回到箱子正中间,并与箱子保持相对静止。设碰撞都是弹性的,则整个过程中,系统损失的动能为()A.12mv2B.𝑚𝑚0𝑣22(𝑚+𝑚0)C.12NμmgLD.NμmgL51234解析:根据动量守恒,小物块和箱子的共同速度v'=𝑚𝑣𝑚0+𝑚,损失的动能ΔEk=12mv2-12(m0+m)v'2=𝑚𝑚0𝑣22(𝑚+𝑚0),所以B正确。根据能量守恒,损失的动能等于因摩擦产生的热量,而计算热量的方法是摩擦力乘以相对位移,所以ΔEk=fNL=NμmgL,所以D正确。答案:BD512342.(多选)矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成,将其放在光滑的水平面上,质量为m的子弹以速度v水平射向滑块,若射击下层,子弹刚好不射出,若射击上层,则子弹刚好能射进一半厚度,如图所示,上述两种情况相比较()A.子弹对滑块做功一样多B.子弹对滑块做的功不一样多C.系统产生的热量一样多D.系统产生的热量不一样多解析:两次都没射出,则子弹与滑块最终达到共同速度,设为v共,由动量守恒定律可得mv=(m0+m)v共,得;子弹对滑块所做的功等于滑块获得的动能,故选项A正确;系统损失的机械能转化为热量,故选项C正确。答案:ACv共=𝑚𝑚0+𝑚v512343.如图所示,位于光滑水平桌面上的小滑块P和Q均可视为质点,质量均为m,Q与轻质弹簧相连并处于静止状态,P以初速度v向Q运动并与弹簧发生作用。求整个过程中弹簧的最大弹性势能。解析:P和Q速度相等时,弹簧的弹性势能最大,由动量守恒得mv=2mv共,由能量守恒定律得12mv2=Epmax+12(2m)𝑣共2,解得Epmax=14mv2。答案:14mv2512344.如图所示,质量为m1的小车静止在光滑水平轨道上,下面用长为L的细线悬挂着质量为m的沙箱,一颗质量为m0的子弹以v0的水平速度射入沙箱,并留在其中,在以后的运动过程中,求沙箱上升的最大高度。51234解析:子弹打入沙箱过程中动量守恒,以v0的方向为正方向,由动量守恒定律得m0v0=(m0+m)v1摆动过程中,子弹、沙箱、小车组成的系统水平方向动量守恒,机械能守恒。沙箱到达最大高度时,系统有相同的速度,设为v2,则有(m0+m)v1=(m0+m+m1)v212(m0+m)𝑣12=12(m0+m+m1)𝑣22+(m0+m)gh联立以