祝各位莘莘学子高考成功!高考数学考出好成绩!第1页总策划:小柏---武汉中学高三数学组祝各位莘莘学子高考成功!高考数学考出好成绩!第2页总策划:小柏---武汉中学高三数学组祝各位莘莘学子高考成功!高考数学考出好成绩!第3页总策划:小柏---武汉中学高三数学组抛物线焦点弦性质总结30条aA'C'C(X3,Y3)B'OFB(X2,Y2)A(X1,Y1)基础回顾1.以AB为直径的圆与准线L相切;2.2124pxx;3.212yyp;4.'90ACB;5.''90AFB;6.123222()2sinppABxxpx;7.112AFBFP;8.A、O、'B三点共线;9.B、O、'A三点共线;10.22sinAOBPS;11.23()2AOBSPAB(定值);12.1cosPAF;1cosPBF;13.'BC垂直平分'BF;14.'AC垂直平分'AF;15.'CFAB;16.2ABP;17.11'('')22CCABAABB;18.AB3PK=y;19.2p22ytan=x-;20.2A'B'4AFBF;21.1C'FA'B'2.22.切线方程xxmyy00性质深究一)焦点弦与切线1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,两切线交点位置有何特殊之处?结论1:交点在准线上先猜后证:当弦xAB轴时,则点P的坐标为0,2p在准线上.证明:从略结论2切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论3弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴.2、上述命题的逆命题是否成立?结论4过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点先猜后证:过准线与x轴的交点作抛物线的切线,则过两切点AB的弦必过焦点.结论5过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径.3、AB是抛物线pxy22(p>0)焦点弦,Q是AB的中点,l是抛物线的准线,lAA1,lBB1,过A,B的切线相交于P,PQ与抛物线交于点M.则有结论6PA⊥PB.结论7PF⊥AB.结论8M平分PQ.结论9PA平分∠A1AB,PB平分∠B1BA.结论102PFFBFA结论11PABS2minp祝各位莘莘学子高考成功!高考数学考出好成绩!第4页总策划:小柏---武汉中学高三数学组二)非焦点弦与切线思考:当弦AB不过焦点,切线交于P点时,也有与上述结论类似结果:结论12①pyyxp221,221yyyp结论13PA平分∠A1AB,同理PB平分∠B1BA.结论14PFBPFA结论15点M平分PQ结论162PFFBFA相关考题1、已知抛物线yx42的焦点为F,A,B是抛物线上的两动点,且FBAF(>0),过A,B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M,(1)证明:ABFM的值;(2)设ABM的面积为S,写出fS的表达式,并求S的最小值.2、已知抛物线C的方程为yx42,焦点为F,准线为l,直线m交抛物线于两点A,B;(1)过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D,求证:DFAF;(2)若直线m过焦点F,分别过点A,B的两条切线相交于点M,求证:AM⊥BM,且点M在直线l上.3、对每个正整数n,nnnyxA,是抛物线yx42上的点,过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点nnntsB,,(1)试证:4nnsx(n≥1)(2)取nnx2,并Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点,求证:122121nnnFCFCFC(n≥1)祝各位莘莘学子高考成功!高考数学考出好成绩!第5页总策划:小柏---武汉中学高三数学组椭圆与双曲线的对偶性质--(必背的经典结论)高三数学备课组椭圆1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.2.PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上,则过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab.6.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab.7.椭圆22221xyab(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上任意一点12FPF,则椭圆的焦点角形的面积为122tan2FPFSb.8.椭圆22221xyab(a>b>0)的焦半径公式:10||MFaex,20||MFaex(1(,0)Fc,2(,0)Fc00(,)Mxy).9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.11.AB是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦,M),(00yx为AB的中点,则22OMABbkka,即0202yaxbKAB。12.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内,则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222xxyyxyabab.13.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab内,则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222xxyyxyabab.双曲线1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.2.PT平分△PF1F2在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切:P在左支)5.若000(,)Pxy在双曲线22221xyab(a>0,b>0)上,则过0P的双曲线的切线方程是00221xxyyab.6.若000(,)Pxy在双曲线22221xyab(a>0,b>0)外,则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab.7.双曲线22221xyab(a>0,b>o)的左右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上任意一点12FPF,则双曲线的焦点角形的面积为122t2FPFSbco.8.双曲线22221xyab(a>0,b>o)的焦半径公式:(1(,0)Fc,2(,0)Fc当00(,)Mxy在右支上时,10||MFexa,20||MFexa.当00(,)Mxy在左支上时,10||MFexa,20||MFexa9.设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF.10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF.11.AB是双曲线22221xyab(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M),(00yx为AB的中点,则0202yaxbKKABOM,即0202yaxbKAB。12.若000(,)Pxy在双曲线22221xyab(a>0,b>0)内,则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222xxyyxyabab.13.若000(,)Pxy在双曲线22221xyab(a>0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222xxyyxyabab.祝各位莘莘学子高考成功!高考数学考出好成绩!第6页总策划:小柏---武汉中学高三数学组椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)高三数学备课组椭圆1.椭圆22221xyab(a>b>o)的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)Aa,与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.2.过椭圆22221xyab(a>0,b>0)上任一点00(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且2020BCbxkay(常数).3.若P为椭圆22221xyab(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,12PFF,21PFF,则tant22accoac.4.设椭圆22221xyab(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2中,记12FPF,12PFF,12FFP,则有sinsinsincea.5.若椭圆22221xyab(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0<e≤21时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.6.P为椭圆22221xyab(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则2112||||||2||aAFPAPFaAF,当且仅当2,,AFP三点共线时,等号成立.7.椭圆220022()()1xxyyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222200()AaBbAxByC.8.已知椭圆22221xyab(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OPOQ.(1)22221111||||OPOQab;(2)|OP|2+|OQ|2的最大值为22224abab;(3)OPQS的最小值是2222abab.9.过椭圆22221xyab(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则||||2PFeMN.10.已知椭圆22221xyab(a>b>0),A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点0(,0)Px,则22220ababxaa.11.设P点是椭圆22221xyab(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12FPF,则(1)2122||||1cosbPFPF.(2)122tan2PFFSb.12.设A、B是椭圆22221xyab(a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,PAB,PBA,BPA,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有(1)22222|cos|||sabPAacco.(2)2tantan1e.(3)22222cotPABabSba.13.已知椭圆22221xyab(a>b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BCx轴,则直线AC经过线段EF的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.祝各位莘莘学子高考成功!高考数学考出好成绩!第7页总策划:小柏---武汉中学高三数学组椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)高三数学备课组双曲线1.双曲线22221xyab(a>0,b>0)的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)Aa,与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点