1.1-1.2-行列式的定义

线性代数安徽工业大学数理学院信计系Linearalgebra线性代数的主要研究对象是线性方程组，线性代数的一个重要任务就是给出线性方程组的解：1.给出方程组有解、无解的充要条件；2.方程组有解时，给出（1）有唯一解的充要条件及求解的方法；（2）有无穷多解的充要条件及解的结构.并在此基础上，抽象出更一般的概念线性空间的理论我们有解一个具体的二元、三元线性方程组的经验，这是一个很重要的实践.下面我们要研究的是更加广泛、更具一般性的n元线性方程组.我们就将从二元、三元线性方程组的解这一经验入手，逐步展开对n元线性方程组解的研究.行列式和矩阵是研究线性方程解的主要工具..为此，根据研究线性方程组解的需要，我们首先要学好行列式和矩阵这两个基本概念及其运算性质，会使用这两个工具来研究问题.第1.1节行列式的定义一、二阶与三阶行列式1.二阶行列式二元线性方程组：22221211212111bxaxabxaxa由消元法，得21122211121112112211212111baxaaxaaabxaaxaa得211211221122211)(abbaxaaaa同理，得212221121122211)(baabxaaaa于是，当021122211aaaa时，方程组有唯一解.211222112122211aaaabaabx211222112112112aaaaabbax为便于记忆，引进记号22211211aaaaD21122211aaaa称记号22211211aaaaD为二阶行列式.其中，数)2,1;2,1(jiaij称为元素为行标，表明元素位于第行ii为列标，表明元素位于第列jj三阶行列式定义设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa记333231232221131211aaaaaaaaa312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa称为三阶行列式.上式定义三阶行列式含6项,每项均为不同行不同列的三个元素的乘积再冠以正负号,其规律遵循对角线法则.第二节n阶行列式的定义•一、全排列及其逆序数•二、对换•三、n阶行列式的定义•四、n阶行列式定义的其它形式•五、小结思考题同的排法？，共有几种不个不同的元素排成一列把n问题定义把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.nn个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.nnP由引例1233P.6nPn)1(n)2(n123!.n同理一、全排列及其逆序数在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.nstiiiii21stii例如排列32514中，定义我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.排列的逆序数32514逆序逆序逆序计算排列逆序数的方法逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.排列的奇偶性定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.3251401031于是排列32514的逆序数为13010t.55的前面没有比5大的数,其逆序数为0;1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;例1求排列32514的逆序数.3排在首位,逆序数为0;解在排列32514中,例2计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.2179863541解453689712544310010t18此排列为偶排列.540100134321212nnn解12,21nn当时为偶排列；14,4kkn当时为奇排列.34,24kkn1nt2n32121nnn1n2n二、对换定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．mlbbbaaa11例如mlbbabaa11nmlccbbbaaa111nmlccabbbaa111baab定理2.1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明设排列为mlbbabaa11对换与abmlbbbaaa11除外，其它元素的逆序数不改变.b,aabba当时，baab的逆序数不变;经对换后的逆序数增加1,经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.ab因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为nmlcbcbabaa111当时，ba现来对换与a.b次相邻对换mnmlccbbabaa111次相邻对换1mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相邻对换12m,111nmlcacbbbaa所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.abnmlccbbbaaa111abab推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.证明由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此知推论成立.三、n阶行列式的定义三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD322113312312332211aaaaaaaaa332112322311312213aaaaaaaaa说明（1）三阶行列式共有项，即项．6!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如322113aaa列标排列的逆序数为,211312t322311aaa列标排列的逆序数为,101132t偶排列奇排列正号,负号.)1(321321333231232221131211ppptaaaaaaaaaaaannnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由定义).det(ija简记作的元素．称为行列式数)det(ijijaa为这个排列的逆序数．的一个排列，，，，为自然数其中tnpppn2121nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、阶行列式是项的代数和;n!n3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;nn4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;aa5、的符号为nnpppaaa2121.1t例3计算反对角行列式0004003002001000分析展开式中项的一般形式是43214321ppppaaaa41p若,011pa从而这个项为零，所以只能等于,1p4同理可得1,2,3432ppp解0004003002001000432114321t.24即行列式中不为零的项为.aaaa41322314例4计算上三角行列式nnnnaaaaaa00022211211分析展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa,npn,11npn,1,2,3123ppnpn所以不为零的项只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211nnntaaa2211121.2211nnaaa解例5?8000650012404321D443322118000650012404321aaaaD.1608541同理可得下三角行列式.2211nnaaa11212212300000nnnnnaaaaaaan21.12121nnn;21nn21例6证明对角行列式与反对角行列式n2111,212111nnnnntaaa.12121nnn证明第一式是显然的,下面证第二式.若记,1,iniia则依行列式定义11,21nnnaaa证毕nppptnaaaD21211定理2.2n阶行列式也可定义为其中为行标排列的逆序数.tnppp21四、n阶行列式定义的其它形式nnqpqpqptaaaD22111其中是两个级排列，为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.nnqqq,ppp2121nt例：试判断和655642312314aaaaaa662551144332aaaaaa是否都是六阶行列式中的项.解655642312314aaaaaa下标的逆序数为6102210431265t所以是六阶行列式中的项.655642312314aaaaaa定理2.3n阶行列式也可定义为662551144332aaaaaa下标的逆序数为8452316t所以不是六阶行列式中的项.662551144332aaaaaa1.行列式的三种表示方法nppptnaaaD21211nnppptaaaD21211nnqpqpqptaaaD22111五、小结思考题2、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.3、阶行列式共有项，每项都是位于不同行、不同列的个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.nn!n思考题已知1211123111211xxxxxf.3的系数求x思考题解答解含的项有两项,即3x1211123111211xxxxxf对应于443322111aaaat(1243)112234431taaaa,1344332211xaaaat124331122344312taaaax.13的系数为故x