考研数学《概率论与数理统计》知识点总结

第一章概率论的基本概念定义：随机试验E的每个结果样本点组成样本空间S，S的子集为E的随机事件，单个样本点为基本事件．事件关系：1．AB，A发生必导致B发生．2．AB和事件，A，B至少一个发生，AB发生．3．AB记AB积事件，A，B同时发生，AB发生．4．A－B差事件，A发生，B不发生，A－B发生．5．AB=Ø，A与B互不相容(互斥)，A与B不能同时发生，基本事件两两互不相容．6．AB=S且AB=Ø，A与B互为逆事件或对立事件，A与B中必有且仅有一个发生，记B=ASA．事件运算：交换律、结合律、分配率略．德摩根律：BABA，BABA．概率：概率就是n趋向无穷时的频率，记P(A)．概率性质:1．P(Ø)=0．2．(有限可加性)P(A1A2…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)，Ai互不相容．3．若AB，则P(B－A)=P(B)－P(A)．4．对任意事件A，有)A(1)A(PP．5．P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB)．古典概型：即等可能概型，满足：1．S包含有限个元素．2．每个基本事件发生的可能性相同．等概公式：中样本点总数中样本点数SA)A(nkP．超几何分布：nNknDNkDp，其中raCra．条件概率：)A()AB()AB(PPP．乘法定理：)A()AB()ABC()ABC()A()AB()AB(PPPPPPP．全概率公式：)B()BA()B()BA()B()BA()A(2211nnPPPPPPP，其中iB为S的划分．贝叶斯公式：)A()B()BA()AB(PPPPiii，njjjBPBAPAP1)()()(或)()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP．独立性：满足P(AB)=P(A)P(B)，则A，B相互独立，简称A，B独立．定理一：A，B独立，则．P(B|A)=P(B)．定理二：A，B独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立．第二章随机变量及其分布(0—1)分布：kkppkXP1)1(}{，k=0，1（0p1）．伯努利实验：实验只有两个可能的结果：A及A．二项式分布：记X~b（n，p），knkknppCkXP)1(}{．n重伯努利实验：独立且每次试验概率保持不变．其中A发生k次，即二项式分布．泊松分布：记X~π（λ），!}{kekXPk，,2,1,0k．泊松定理：!)1(limkeppCkknkknn，其中np．当20n，05.0p应用泊松定理近似效果颇佳．随机变量分布函数：}{)(xXPxF，x．)()(}{1221xFxFxXxP．连续型随机变量：xttfxFd)()(，X为连续型随机变量，)(xf为X的概率密度函数，简称概率密度．概率密度性质：1．0)(xf；2．1d)(xxf；3．21d)()()(}{1221xxxxfxFxFxXxP；4．)()(xfxF，f(x)在x点连续；5．P{X=a}=0．均匀分布：记X~U(a，b)；其它，，01)(bxaabxf；bxbxaabaxaxxF，，，10)(．性质：对a≤cc+l≤b，有abllcXcP}{指数分布：其它，，001)(xexfx；其它，，001)(xexFx．无记忆性：}{}{tXPsXtsXP．正态分布：记),(~2NX；]2)(exp[21)(22xxf；ttxFxd]2)(exp[21)(22．性质：1．f(x)关于x=μ对称，且P{μ-hX≤μ}=P{μX≤μ+h}；2．有最大值f(μ)=(2)-1．标准正态分布：]2exp[21)(2xx；xttxd]2exp[21)(2．即μ=0，σ=1时的正态分布X~N(0，1)性质：)(1)(xx．正态分布的线性转化：对),(~2NX有)1,0(~NXZ；且有)(}{}{)(xxXPxXPxF．正态分布概率转化：)()(}{1221xxxXxP；1)(2)()(}{ttttXtP．3σ法则：P=Φ(1)－Φ(-1)=68.26%；P=Φ(2)－Φ(-2)=95.44%；P=Φ(3)－Φ(-3)=99.74%，P多落在(μ-3σ，μ+3σ)内．上ɑ分位点：对X~N(0，1)，若zα满足条件P{Xzα}=α，0α1，则称点zα为标准正态分布的上α分位点．常用上ɑ分位点：0.0010.0050.010.0250.050.103.0902.5762.3261.9601.6451.282Y服从自由度为1的χ2分布：设X密度函数fX(x)，x，若Y=X2，则000)]()([21)(yyyfyfyyfXXY，，若设X~N(0，1)，则有00021)(221yyeyyfyY，，定理：设X密度函数fX(x)，设g(x)处处可导且恒有g′(x)0(或g′(x)0)，则Y=g(X)是连续型随机变量，且有其他，，0)()]([)(yyhyhfyfXYh(y)是g(x)的反函数；①若x，则α=min{g(−∞)，g(+∞)}，β=max{g(−∞)，g(+∞)}；②若fX(x)在[a，b]外等于零，g(x)在[a，b]上单调，则α=min{g(a)，g(b)}，β=max{g(a)，g(b)}．应用：Y=aX+b~N(aμ+b，(|a|σ)2)．第三章多维随机变量及其分布二维随机变量的分布函数：分布函数(联合分布函数)：)}(){(),(yYxXPyxF，记作：},{yYxXP．),(),(),(),(},{112112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXxP．F（x，y）性质：1．F（x，y）是x和y的不减函数，即x2x1时，F（x2，y）≥F（x1，y）；y2y1时，F（x，y2）≥F（x，y1）．2．0≤F（x，y）≤1且F（−∞，y）=0，F（x，−∞）=0，F（−∞，−∞）=0，F（+∞，+∞）=1．3．F（x+0，y）=F（x，y），F（x，y+0）=F（x，y），即F（x，y）关于x右连续，关于y也右连续．4．对于任意的(x1，y1)，(x2，y2)，x2x1，y2y1，有P{x1X≤x2，y1Y≤y2}≥0．离散型（X，Y）：0ijp，111ijjip，ijyyxxpyxFii),(．连续型（X，Y）：vuvufyxFyxdd),(),(．f(x，y)性质：1．f(x，y)≥0．2．1),(dd),(Fyxyxf．3．yxyxfGYXPGdd),(}),{(．4．若f(x，y)在点(x，y)连续，则有),(),(2yxfyxyxF．n维：n维随机变量及其分布函数是在二维基础上的拓展，性质与二维类似．边缘分布：Fx(x)，Fy(y)依次称为二维随机变量（X，Y）关于X和Y的边缘分布函数，FX(x)=F(x，∞)，FY(y)=F(∞，y)．离散型：ip和jp分别为（X，Y）关于X和Y的边缘分布律，记}{1iijjixXPpp，}{1jijijyYPpp．连续型：)(xfX，)(yfY为（X，Y）关于X和Y的边缘密度函数，记yyxfxfXd),()(，xyxfyfYd),()(．二维正态分布：]})())((2)([)1(21exp{121),(2222212121212221yyxxyxf．记(X，Y)~N(μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)]2)(exp[21)(21211xxfX，x．]2)(exp[21)(22222yyfY，y．离散型条件分布律：jijjjijippyYPyYxXPyYxXP}{},{}{．iijijiijppxXPyYxXPxXyYP}{},{}{．连续型条件分布：条件概率密度：)(),()(yfyxfyxfYYX||条件分布函数：xyfyxfyYxXPyxFxYYXd)(),(}{)(|||)(),()(xfyxfxyfXXY||yxfyxfxXyYPxyFyXXYd)(),(}{)(|||含义：当0时，)|(d)|(}|{||yxFxyxfyYyxXPYXxYX．均匀分布：若其他,0),(,1),(GyxAyxf，则称(X，Y)在G上服从均匀分布．独立定义：若P{X≤x，Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}，即F(x，y)=Fx(x)Fy(y)，则称随机变量X和Y是相互独立的．独立条件或可等价为：连续型：f(x，y)=fx(x)fy(y)；离散型：P{X=xi，Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}．正态独立：对于二维正态随机变量（X，Y），X和Y相互对立的充要条件是：参数ρ=0．n维延伸：上述概念可推广至n维随机变量，要注意的是边缘函数或边缘密度也是多元(1~n-1元)的．定理：设（X1，X2，…，Xm）和（Y1，Y2，…，Yn）相互独立，则Xi和Yj相互独立．又若h，g是连续函数，则h（X1，X2，…，Xm）和g（Y1，Y2，…，Yn）相互独立．Z=X+Y分布：若连续型(X，Y)概率密度为f(x，y)，则Z=X+Y为连续型且其概率密度为yyyzfzfYXd),()(或xxzxfzfYXd),()(．fX和fY的卷积公式：记yyfyzfzfffYXYXYXd)()()(*xxzfxfYXd)()(，其中除继上述条件，且X和Y相互独立，边缘密度分别为fX(x)和fY(y)．正态卷积：若X和Y相互独立且X~N(μ1，σ12)，记Y~N(μ2，σ22)，则对Z=X+Y有Z~N(μ1+μ2，σ12+σ22)．1．上述结论可推广至n个独立正态随机变量．2．有限个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布．伽马分布：记),(~X，0，0．其他，，00)(1)(1xexxfx，其中01d)(tett．若X和Y独立且X~Γ(α，θ)，记Y~Γ(β，θ)，则有X+Y~Γ(α+β，θ)．可推广到n个独立Γ分布变量之和．XYZ：xxzxfxzfXYd),()(，若X和Y相互独立，则有xxzfxfxzfYXXYd)()()(．XYZ分布：xxzxfxzfXYd),(1)(，若X和Y相互独立，则有xxzfxfxzfYXXYd)()(1)(．大小分布：若X和Y相互独立，且有M=max{X，Y}及N=min{X，Y}，则M的分布函数：Fmax(z)=FX(z)FY(z)，N的分布函数：Fmin(z)=1－[1－FX(z)][1－FY(z)]，以上结果可推广到n个独立随机变量的情况．第四章随机变量的数字特征数学期望：简称期望或均值，记为E(X)；离散型：kkkpxXE1)(．连续型：xxxfXEd)()(．定理：设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)(g是连续函数)．1．若X是离散型，且分布律为P{X=xk}=pk，则：kkkpxgYE)()(1．2．若X是连续型，概率密度为f(x)，则：xxfxgYEd)()()(．定理推广：设Z是随机变量X，Y的函数：Z=g(X，Y)(g