2019-2020学年人教A版选修2-2(十九)--复数代数形式的加、减运算及其几何意义-作业

第1页共5页课时跟踪检测（十九）复数代数形式的加、减运算及其几何意义一、题组对点训练对点练一复数的加、减运算1．(2－2i)－(－3i＋5)等于()A．2－iB．－3＋iC．5i－7D．2＋3i解析：选B(2－2i)－(－3i＋5)＝(2－5)＋(－2＋3)i＝－3＋i.故选B.2．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为()A．a＝－3，b＝－4B．a＝－3，b＝4C．a＝3，b＝－4D．a＝3，b＝4解析：选A由题意可知z1＋z2＝(a－3)＋(b＋4)i是实数，z1－z2＝(a＋3)＋(4－b)i是纯虚数，故b＋4＝0，a＋3＝0，4－b≠0，解得a＝－3，b＝－4，故选A.3．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1解析：选C由已知条件，可得z＝x＋yi.∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.4．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)．解：(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i)＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2.(2)原式＝(－1＋i)＋0＋12＋(1＋i)＝－1＋i＋1＋1＋i＝1＋2i.对点练二复数加、减运算的几何意义5．已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是()第2页共5页解析：选A由图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)，故选A.6．若复平面上的▱ABCD中，AC―→对应的复数为6＋8i，BD―→对应的复数为－4＋6i，则DA―→对应的复数是()A．2＋14iB．1＋7iC．2－14iD．－1－7i解析：选D设AC与BD交于点O，则有DA―→＝DO―→＋OA―→＝12DB―→＋12CA―→＝－12(AC―→＋BD―→)．于是DA―→对应的复数为－12[(6＋8i)＋(－4＋6i)]＝－1－7i，故选D.7．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量OA―→和OB―→，其中O为坐标原点，则|AB―→|＝________.解析：由题意AB―→＝OB―→－OA―→，∴AB―→对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，∴|AB―→|＝2.答案：28．复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，如图所示，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解：复数z1，z2，z3所对应的点分别为A，B，C，设正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)．因为AD―→＝OD―→－OA―→，所以AD―→对应的复数为(x＋yi)－(1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，因为BC―→＝OC―→－OB―→，所以BC―→对应的复数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i.因为AD―→＝BC―→，所以它们对应的复数相等，即x－1＝1，y－2＝－3，解得x＝2，y＝－1.故点D对应的复数为2－i.对点练三复数加、减运算几何意义的应用9．若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点Z()A．在实轴上B．在虚轴上C．在第一象限D．在第二象限第3页共5页解析：选B设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－1|＝|z＋1|得(x－1)2＋y2＝(x＋1)2＋y2，化简得：x＝0.10．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：选B根据复数加(减)法的几何意义，知以OA―→，OB―→为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形．二、综合过关训练1．若|z|＋z＝3＋i，则z等于()A．1－43iB．1＋43iC．43＋iD．－43＋i解析：选C设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z|＋z＝3＋i得x2＋y2＋x＋yi＝3＋i，即x2＋y2＋x＝3，y＝1，解得x＝43，y＝1，所以z＝43＋i，故选C.2．设f(z)＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于()A．1－3iB．－2＋11iC．－2＋iD．5＋5i解析：选D∵z1＝3＋4i，z2＝－2－i，∴z1－z2＝(3＋4i)－(－2－i)＝5＋5i，又∵f(z)＝z，∴f(z1－z2)＝z1－z2＝5＋5i.3．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为()A．2B．4C．42D．16解析：选C由|z－4i|＝|z＋2|，得|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，即x＋2y＝3，∴2x＋4y＝2x＋22y≥22x＋2y＝223＝42，当且仅当x＝2y＝32时，2x＋4y取得最小值42.第4页共5页4．复数z1，z2分别对应复平面内的点M1，M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为4＋3i，则|z1|2＋|z2|2等于()A．10B．25C．100D．200解析：选C根据复数加减法的几何意义，由|z1＋z2|＝|z1－z2|知，以OM1―→，OM2―→为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等)，即∠M1OM2为直角，M是斜边M1M2的中点，因为|OM―→|＝42＋32＝5.所以|M1M2|＝10.所以|z1|2＋|z2|2＝|OM1―→|2＋|OM2―→|2＝|M1M2―--→|2＝100.故选C.5．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.解析：z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴a2－a－2＝0，a2＋a－6≠0，解得a＝－1.答案：－16．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为|z|＝3，所以a2＋b2＝9.又z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i为纯虚数，所以a＝0，b＋3≠0，即a＝0，b≠－3.又a2＋b2＝9，所以a＝0，b＝3，所以z＝3i.答案：3i7．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，若z1－z2＝13－2i，求z1，z2.解：z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i＝(5x－3y)＋(x＋4y)i.又∵z1－z2＝13－2i，∴(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i.∴5x－3y＝13，x＋4y＝－2，解得x＝2，y＝－1，∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i.z2＝[4×(－1)－2×2]－[5×2＋3×(－1)]i＝－8－7i.第5页共5页8．在平行四边形ABCD中，已知AC―→，DC―→对应的复数分别为z1＝3＋5i，z2＝－1＋2i.(1)求BC―→对应的复数；(2)求BD―→对应的复数；(3)求平行四边形ABCD的面积．解：(1)因为AC―→＝AB―→＋BC―→＝DC―→＋BC―→，所以BC―→＝AC―→－DC―→，故BC―→对应的复数为z＝z1－z2＝(3＋5i)－(－1＋2i)＝4＋3i.(2)因为BD―→＝AD―→－AB―→＝BC―→－DC―→，所以BD―→对应的复数为(4＋3i)－(－1＋2i)＝5＋i.(3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD中，AB―→＝DC―→＝(－1,2)，AD―→＝BC―→＝(4,3)，所以cos∠DAB＝AB―→·AD―→|AB―→||AD―→|＝25×5＝2525，因此sin∠DAB＝1－cos2∠DAB＝11525.于是平行四边形ABCD的面积S＝|AB―→||AD―→|sin∠DAB＝5×5×11525＝11.