导数高考压轴题分析

§10导数综合问题分析一、极值问题(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．二、最值问题(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．【注意】1.求函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．2.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．三、参数范围问题不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．()fxa：minmaxmax()()()fxafxafxa恒成立有解无解含参数的不等式()()fxgx恒成立、有解、无解的处理方法：①()yfx的图象和()ygx图象特点考考虑；②构造函数法，一般构造()()()Fxfxgx，转化为()Fx的最值处理；③参变分离法，将不等式等价变形为()ahx，或()ahx，进而转化为求函数()hx的最值.【注意】恒成立问题的两种常见解题思路：①参变分离；②构造函数四、定积分1．定积分的概念在()bafxdx中，,ab分别叫做积分下限与积分上限，区间[]ab，叫做积分区间，()fx叫做被积函数，x叫做积分变量，()fxdx叫做被积式．2．定积分的性质(1)()()bbaakfxdxkfxdx(k为常数)；(2)12[()()]bafxfxdx12()()bbaafxdxfxdx；(3)()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx(其中acb)．3．微积分基本定理一般地，如果()fx是在区间[]ab，上的连续函数，且Fxfx＝，那么()dxbaFfxbFa-，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．其中()Fx叫做()fx的一个原函数．为了方便，常把FbaF-记作()baFx，即()dx()bbaafxFxbFaF-．4．求分段函数（带绝对值的函数）的积分（1）分段函数的定积分①分段函数在区间[a,b]上的积分可分成几段积分的和的形式；②分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细。（2）奇偶函数在对称区间上的积分①若f(x)为偶函数，且在关于原点对称的区间[-a,a]上连续，则0()2()aaafxdxfxdx;②若f(x)为奇函数，且在关于原点对称的区间[-a,a]上连续，则()0aafxdx高频考点一求极值【例1】设函数2()(1)xfxxxe．求f(x)的单调区间和极值;【答案】当x=0时f(x)有极小值-1,当x=3时,f(x)有极大值35e．【解析】()(3)xfxxxe,由()0fx得或03x(2分)x(,0)0(0,3)3(3,)f’(x)-0+0-f(x)↘极小值-1↗极大值35e↘由上表得,f(x)的单调增区间为(0,3),单调减区间为(,0),(3,);当x=0时f(x)有极小值-1,当x=3时,f(x)有极大值35e．(6分)【点拨】求函数极值时，易于误把导数为0的点作为极值点；极值点的导数也不一定为0.【变式练习】已知函数23ln4)(xxaxxf，其中Ra，且曲线)(xfy在点))1(,1(f处的切线垂直于xy21.（1）求a的值；（2）求函数)(xf的单调区间与极值.【答案】（1）54a；（2）单调递增区间5,，单调递减区间0,5，=fx极小5ln5f【解析】（1）对fx求导得2114afxxx，由fx在点1,1f处切线垂直于直线12yx知32,4fxa解得54a；（2）由（1）知53()ln442xfxxx，则22215145,444xxfxxxx令0fx，解得1x或5x.因1x不在fx的定义域0,内，故舍去.当0,5x时，0,fx故fx在0,5内为减函数；当5,x时，0,fx故fx在5,内为增函数；由此知函数fx在5x时取得极小值5ln5f.【例2】【2013·重庆】设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0，6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．【点拨】求极值必定列表。【变式练习】已知函数232()(0),3fxxaxaxR求()fx的单调区间和极值；【答案】()fx的单调增区间是1(0,)a，单调减区间是(,0)和1(,)a，当0x时，()fx取极小值0，当1xa时，()fx取极大值213a，【解析】由已知有2()22(0).fxxaxa令()0fx，解得0x或1xa，列表如下：x(,0)01(0,)a1a1(,)a()fx00()fx0213a所以()fx的单调增区间是1(0,)a，单调减区间是(,0)和1(,)a，当0x时，()fx取极小值0，当1xa时，()fx取极大值213a，高频考点二求最值【例3】设函数f(x)=ln(2x+3)+x2①讨论f(x)的单调性；②求f(x)在区间[-1，0]的最大值和最小值.【答案】（1）f(x)在区间（-32，-1），（-12，+∞）单调递增，在区间（-1，-12）单调递减（2）最小值为f(-12)=ln2+14,最大值为f(0)=ln3【解析】f(x)的定义域为（-32，+∞）……………………1分（1）f′(x)=2223xx=24622(21)(1)2323xxxxxx………………………………3分当-32＜x＜-1时，f′(x)＞0；当-1＜x＜-12时，f′(x)＜0；当x＞-12时，f′(x)＞0.…………4分从而，f(x)在区间（-32，-1），（-12，+∞）单调递增，在区间（-1，-12）单调递减………7分（2）由（1）知f(x)在区间[-1，0]的最小值为f(-12)=ln2+14,…………………………9分又f(-1)=1,f(0)=ln3＞1,………………………………11分∴最大值为f(0)=ln3…………………………12分【点拨】求最值先求极值。【变式练习】【2012·淄博一中·期中】已知函数()()xfxxke.（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）求()fx在区间]2,1[上的最小值；【答案】解：（I）()fx的单调递增区间为),1(k，单调递减区间为)1,(k（II）当2k时，()fx的最小值为(1-k)e；当3k时，()fx的最小值为(2-k)e2；当32k时，()fx的最小值为1ke；【例4】【2014·四川】已知函数2()1xfxeaxbx，其中,abR，2.71828e为自然对数的底数。设()gx是函数()fx的导函数，求函数()gx在区间[0,1]上的最小值。【答案】min11,,21()22ln(2),,222,,2baegxaaabaeeaba【解析】因为2()1xfxeaxbx所以()()2xgxfxeaxb又()2xgxea因为[0,1]x，1xee所以：①若12a，则21a，()20xgxea，所以函数()gx在区间[0,1]上单增，min()(0)1gxgb②若122ea，则12ae，于是当0ln(2)xa时()20xgxea，当ln(2)1ax时()20xgxea，所以函数()gx在区间[0,ln(2)]a上单减，在区间[ln(2),1]a上单增，min()[ln(2)]22ln(2)gxgaaaab③若2ea，则2ae，()20xgxea所以函数()gx在区间[0,1]上单减，min()(1)2gxgeab综上：()gx在区间[0,1]上的最小值为min11,,21()22ln(2),,222,,2baegxaaabaeeaba【点拨】函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【变式练习】已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．【点拨】1．求函数极值时，易于误把导数为0的点作为极值点；极值点的导数也不一定为0.2．极值与最值：注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．【例5】【2014·日照·二模】已知axefxx，其中e为自然对数的底数.当12a时，求函数,10fxmmm在上的最小值；【答案】当0m≤1时，12mine()(1)1mfxfmm；当12m时，mine()(2)2fxf；当2m≥时，2mine()()mfxfmm.【解析】当12a时，则2'2e(1)2()xxfxx.当102x，即2x时，'()0fx；当1002xx且，即202xx或时，'()0fx.则()fx的增区间为（2，＋∞），减区间为（－∞，0），（0，2）.……6分因为0m，所以11m，①当12m≤，即01m≤时，()fx在[,1mm]上单调递减，所以12mine()(1).1mfxfmm②当21mm，即12m时，()fx在[,2]m上单调递减，在[2,1]m上单调递增，所以mine()(2).2fxf③当2m≥时，()fx在[,1mm]上单调递增，所以2mine()()mfxfmm.综上，当0m≤1时，12mine()(1)1mfxfmm；当12m时，mine()(2)2fxf；当2m≥时，2mine()()mfxfmm.【点拨】分类技巧要熟记。高频考点三证明不等式无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构