矩阵的简单运算公式

矩阵的运算（一）矩阵的线性运算特殊乘法:222()ABAABBAB222()()()ABABABAB（二）关于逆矩阵的运算规律111111111(1)()(2)()/(3)()()(4)()()TTnnABBAkAAkAAAA（三）关于矩阵转置的运算规律(1)()(2)()TTTTTTABBAABBA（四）关于伴随矩阵的运算规律**1*2***1***1*11**1(1)(2)(2)(3)()(4)(),()(5)()1,()10,()2(6)()()()nnnAAAAAEAAnAAAkAkAnrAnrArAnrAnAAAAAAAAA若若若若可逆，则，，（五）关于分块矩阵的运算法则111110000(2)0000TTTTTABACCDBDBBBCCCCB(1)；，（六）求变换矩阵1211211121311111121222321121121313233313131100(a)(2)inniiiijiiiiATTATTPPPAPPAaaapppaaappPpaaapppAPPPi已知矩阵，及其特征值求使得，设，则其中若有重根则时再1TT由求（七）特征值与矩阵（1）212122aA=aaA=aa,=nAAA若可以化成对角型，则存在矩阵使得所以特征值；对于A仍然适用。（2）1-11111A=(aa)aa1/AA因此麦克劳林展开式23521242231(1)e12!(2)sin(1)3!5!21!(3)cos1(1)2!4!2!(1)(1)(1)(2)(4)(1)12!3!!nxnnnnnnkxxxnxxxxxnxxxxnkxxxxxn第一章1.1线性空间：定义1：设V是一个非空集合，P是数域，在V中定义如下两种计算：1.加法：对于任意两个元素,V，按照某一法则，总有唯一元素V与之对应，则=称为，之和，记为。2.数乘：对于任意一个kP及任意元素V按照某一法则，总有唯一的元素=Vkk与之对应，称为与的数乘，记为满足以下八种运算规律，该空间为线性空间：1)=2)()()3)在V中存在一个元素0，使它对任意V，都有0=。拥有这一性质的元素称为零元素4)对任意V，在V中存在相应元素，使得=0，称β为α的负元素，记为-α5)()kkk6)()kllk7)()()klkl8)1*α=α1.2线性子空间：定义：V是线性空间，W是V的一个非空子集，如果W中定义的加法与数乘对应于W封闭构成线性空间，则W是V的子空间。记为WV。充要条件：W对应于V中两种运算都必须封闭、1.3内积空间定义：设V是数域P上的线性空间，对于V上的两个向量α和β按照某一法则都有唯一的复数与他们相对应，且具有以下性质（,,VkP，）(1)(,)(,);(2)(,)(,)(,)(3)(,)(,)(4)(,)0,=0(,)=0kk当且仅当时，称(,),为向量的内积1.4线性变换定义1：对于线性空间V中任意一个向量α，按照一定规律总存在α’与之对应，则成这一规律为V上的一个变换（映射）。记为：`(),``称为的象，为的原象。线性变换定义：数域P上的线性空间V的一个变换对于任意,VVkP，满足(1)()()();(2)(k)k()1.5正交变换与酉变换：定义1：若数域P上的欧式空间（酉空间）V上的线性变换，对任意=V，都有（）则称V为上的正交变换。（酉变换）酉空间定义：设V是复数域C上的线性空间，对于V上的2个向量x，y如果能给定某种规则，使得x,y对应一个复数（x,y），它能满足以下条件：,,;,,z,z,,,0,0,0.xyyxxyzxykxykxyxxxxx（1）=（2）=（3）（4）当且仅当时，则称该复数,xy是向量x与y的内积。如此定义了那内积的复数域C上的线性空间叫做酉空间（U空间）。HA表示转置共轭向量，即H-TA=AHHAA=AA=E则，A为酉矩阵。