3.2-向量组的极大无关组

第3.4节向量组的极大线性无关组主要内容:一．等价向量组二．向量组的极大线性无关组三．向量组的秩与矩阵秩的关系一、等价向量组定义1：如果向量组中的每一个向量12:,,,mA都可以由向量组12:,,,sB线性表示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。若同时向量组B也可以由向量组A线性表示，就称向量组A与向量组B等价。1,,2,12211mikkksisiii2,,2,12211sjlllmjmjjj即),,2,1(mii自反性：一个向量组与其自身等价；对称性：若向量组与等价，则和等价；ABABA传递性：与等价,与等价，则与等价。CBCAB二、向量组的极大线性无关组定义2:注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.简称极大无关组。对向量组A，如果在A中有r个向量12,,,r满足：（2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话）012:,,,rA线性无关。（1）那么称部分组为向量组的一个极大线性无关组。0AA（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。（3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示例如：在向量组中，123242121,,35414112,首先线性无关，又123,,线性相关，所以12,组成的部分组是极大无关组。还可以验证23,也是一个极大无关组。注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。定理：设12,,,s与是两个向量组，如果12,,,t(2)st则向量组必线性相关。12,,,s推论1：如果向量组可以由向量组12,,,t线性表示，并且12,,,sst12,,,s线性无关，那么推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。12,,,s(1)向量组12,,,t线性表示；可以由向量组极大无关组的一个基本性质：任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都与向量组等价，所以：向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。定理：三、向量组的秩与矩阵秩的关系定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩,记作例如：向量组的123242121,,354141秩为2。12(,,,)sr1.向量组的秩12(,,,)sr个线性无关的向量均为注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的，任意s,,,12它的极大线性无关组。（4）等价的向量组必有相同的秩。关于向量组的秩的结论：（1）零向量组的秩为0。（2）向量组12,,,s线性无关12(,,,)srs向量组12,,,s线性相关12(,,,)srs（3）如果向量组可以由向量组12,,,t线性表示，则12,,,s1212(,,,)(,,,)strr注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。2.矩阵的秩行秩、列秩、矩阵的秩把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。定义4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩;矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。例如：矩阵1131021400050000A的行向量组是1234(1,1,3,1)(0,2,1,4)(0,0,0,5)(0,0,0,0)可以证明，123,,是A的行向量组的一个极大无关组，因为，由1122330kkk即12311212123(1,1,3,1)(0,2,1,4)(0,0,0,5)(,2,3,45)(0,0,0,0)kkkkkkkkkkk可知1230,kkk即123,,线性无关；而4为零向量，包含零向量的向量组线性相关，1234,,,线性相关。所以向量组1234,,,的秩为3，所以矩阵A的行秩为3。矩阵A的列向量组是123411310214,,,00050000可以验证124,,线性无关，而312471022所以向量组1234,,,的一个极大无关组是124,,所以向量组1234,,,的秩是3，所以矩阵A的列秩是3。引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。（列）（列）引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。（列）（行）综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。定理：矩阵的行秩＝矩阵的列秩定义5：矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。记为r(A),或rankA，或秩A。推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。3矩阵秩的求法.行阶梯形矩阵：10104011030001300000B例如：11214021100005300000A特点：(1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零；(2)每个台阶只有一行，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元．11214021100005300000行最简形矩阵（行标准形矩阵）：在行阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的第一个非零元为数1，且这些1所在的列的其他元素全都为零。10104011030001300000B例如：注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。例1：对矩阵222110100220100110111110111000A作行初等变换,使成为行阶梯矩阵.解:12rrA0111110001110110010220010112223141512011111000111000112000223000111rrrrrr43425232011111000111000001000000000000rrrrrrrr求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。结论：行阶梯形矩阵的秩＝非零行的行数定理：矩阵A的初等行变换不改变A的列向量组的线性相关性和线性组合关系.][2121mmBA行初等变换此定理说明了:(1)若则向量组A线性相关向量组B线性相关(2)0.BX0AX0,βx0αxim1iim1iii即或mm1i1i1i1i11iαxαxαxαxαmm1i1i1i1i11ixxxx求向量组的秩、极大无关组的步骤.（1）向量组12,,,s作列向量构成矩阵A。（2）AB初等行变换（行阶梯形矩阵）r(A)=B的非零行的行数（3）求出B的列向量组的极大无关组（4）A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组即为A的极大无关组。若还要用极大线性无关组表示其余向量,须将B化为行标准形矩阵。例2：向量组12345(7,2,1,11),(1,1,5,8)(3,1,1,4),(5,3,7,0),(4,2,1,11)TTTTT求向量组的秩和一个极大无关组。解：7135421132151711184011A15171211327135411840111517109111003644430637770151710911100000300000B()3rA又因为B的1，2，5列是B的列向量组的一个极大无关组所以，125,,是12345,,,,的一个极大无关组。考虑：是否还有其他的极大无关组？135,,145,,与例3：求向量组1234(2,4,2),(1,1,0),(2,3,1),(3,5,2)的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。解：设212341352012A2123011101112123011100002012011100001210101110000B则B的1，2列为极大无关组，且123124121,11所以12,为所求的一个极大无关组，且123124121;114.矩阵的秩与行列式的关系定理:n阶方阵A，0,A即A为可逆矩阵（也称为满秩矩阵）A的n个行（列）向量线性无关()rAn()rAnA的n个行（列）向量线性相关0A,即A为不可逆矩阵（也称为降秩矩阵）