行列式在解析几何中的应用问题--毕业论文

1行列式是数学中的一个重要计算工具,在解析几何中有着广泛的应用,它不仅形式优美,而且便于记忆.本文较系统的总结了行列式在解析几何中一些重要方程中的应用,并且用行列式的形式给出了一些多边形面积或多面体体积的计算公式.1.行列式在解析几何中一些重要方程的表示中的应用1.1平面上过已知两点的直线方程定理1.1平面上过两个已知点1P(11,xy),2P(22,xy)的直线方程是1112211yxyxyx=0(1-1)推论平面上三点(,)iiiPxy(i=1,2,3)共线的充要条件是1122331101xyxyxy(1-2)由于1P,2P,3P共线的充要条件即为1P在2P,3P所决定的直线上,而2P,3P所决定的直线L的方程是1112211yxyxyx=0(1-3)从而1P在L上的充要条件为1122331101xyxyxy即为(1-2)式.很自然的我们会问,空间三点共线的充要条件是什么呢？我们做一下推广.空间三点(,,)iiiiPxyz(i=1,2,3)共线充要条件是22331122331122331121111110111xxxxxxyyyyyyzzzzzz事实上12PP=(212121,,xxyyzz)13313131(,,)PPxxyyzz从而有12PP13PP=212121313131ijkxxyyzzxxyyzz=21213131yyzzyyzzi+21213232zzxxjzzxx[phone]xxyykxxyx=233112233112223112111111111xxxxxxyyiyyjyykzzzzzz而1P,2P,3P共线的充要条件是12PP13PP=0，由此得证.1.2平面上三点所确定的圆的方程定理1.2平面上不共线的三点(,)iiiPxy(i=1,2,3)所确定的圆的方程可用下面四阶行列式表示2222111122222222333311011xyxyxyxyxyxyxyxy(1-4)证明设所求的圆的方程为220xyAxByC依题意得221111222222223333000xyAxByCxyAxByCxyAxByC把以上四式看成是关于1,A,B,C的齐次方程组,这个方程组显然有非零解.根3据有非零解得充要条件得2222111122222222333311011xyxyxyxyxyxyxyxy推论平面上四点(,)iiiPxy(i=1,2,3,4)共圆的必要条件是22111122222222333322444411011xyxyxyxyxyxyxyxy(1-5)但需要注意的是(1-5)式不是四点共圆的充分条件.例如,当四点共线时(1-5)仍然成立,但是如果已知四点不共线,(1-5)式就是四点共圆的充分条件.因此我们可以得到不共线四点共圆的一个充分必要条件.我们已经知道,空间不共面四点可以确定一个球面方程,下面我们将给出与(1-5)相仿形式的行列式表示.1.3空间中不共面的四点所确定的球面方程定理1.3空间中不共面的四点(,,)iiiiPxyz(i=1,2,3,4)所确定的球面的方程可以用下面的五阶行列式表示222222111111222222222222333333222444444110111xyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyz(1-6)其证明的过程同定理1.2.由定理1.3可以得到空间五点共球面的必要条件,即推论空间中五点(,,)iiiiPxyz(i=1,2,3,4,5)共球面的条件是11112222333344445555111011xyzxyzxyzxyzxyz(1-7)其中,222iiiixyz,(i=1,2,3,4,5)4同样应该注意,条件(1-7)不是五点共球面的充分条件.例如,当五点共线(或者共面)时,条件(1-7)也是成立的.1.4空间中不共线的三点确定的平面方程定理1.4空间中不共线的三点(,,)iiiiPxyz(i=1,2,3)所确定的平面方程为1112121213131310xxyyzzxxyyzzxxyyzz(1-8)或者为11122233311011xyzxyzxyzxyz(1-9)(1-8)或者(1-9)称为平面的三点式方程.事实上,将(1-8)或者(1-9)中的行列式按照第一行展开可以知道,(1-8)或者(1-9)表示平面,又由行列式的性质知道,(,,)iiiiPxyz(i=1,2,3)均满足(1-8)或者(1-9)式,从而(1-8)或者(1-9)表示过123,PPP的平面.推论空间中任意四点(,,)iiiiPxyz(i=1,2,3,4)共面的充分必要条件是11122233344411011xyzxyzxyzxyz(1-10)1.5两条异面直线所确定的公垂线的方程定理1.5空间两条异面直线的方程如下11111112222222::xxyyzzLXYZxxyyzzLXYZ它们所确定的公垂线方程为500222222111111ZYXZYXzzyyxxZYXZYXzzyyxx(1-11)其中111111222222,,YZZXXYXYZYZZXXY事实上,(1-11)中第一个式子即为1L与异面直线所确定的平面方程,(1-11)中第二个式子即为2L与异面直线所确定的平面方程,二者的交线即为公垂线.我们还可以知道(,,)XYZ为公垂线的方向.我们将1L中的x,y,z代入(1-11)中的第二个行列式;2L中的x,y,z代入第一个行列式,可以得到两个异面直线与公垂线的交点,从而得到1L与2L间的距离.1.6平面上不共线五点确定的二次曲线的方程平面上不共线的五点(,,)iiiiPxyz(i=1,2,3,4,5)所确定的二次曲线的方程可以用六阶行列式表示2222111111222222222233333322444444225555551110111xxyyxyxxyyxyxxyyxyxxyyxyxxyyxyxxyyxy(1-12)将(1-12)式中的行列式按照第一行展开,即知(1-12)式表示的二次曲线,又由行列式的性质知道,此二次曲线显然过(,,)iiiiPxyz(i=1,2,3,4,5)诸点.62.行列式在向量中的应用2.1行列式在向量外积的坐标表示中的应用定理2.1设a,b在右手坐标系中的坐标分别是123123(,,),(,,)aaabbb则ab的坐标是221111333322(,,)abababababab(2-1)事实上ab=123123()()aiajakbibjbk=122131132332()()()ababijababkiababjk=233231131221()()()ababiababjababk=221111333322abababijkababab从而结论成立.因此,为了便于记忆,我们可以写作ab=123123ijkaaabbb2.2行列式在混合积中的应用定理2.2任意取定一个仿射标架123[;,,]oeee,设向量a,b,c的坐标分别是(123,,aaa),(123,,bbb),(123,,ccc),则有111222123333()()abcabcabceeeabc(2-2)事实上7()abc=[122112311331()()ababeeababee2332()abab23ee]112233()cecece=122133113223321123[()()()]()ababcababcababceee=111222123333()abcabceeeabc从而以上结论成立.由此很容易看出,若123[;,,]oeee为右手直角标架,则123()eee=1从而可知111222333()abcabcabcabc推论设向量a,b,c的坐标分别是(123,,aaa),(123,,bbb),(123,,ccc),则a,b,c共面的充分必要条件是111222333abcabcabc=0(2-3)事实上,由()abc的几何意义可以知道a,b,c共面的充分必要条件是()0abc从而可以得到结论.由推论(2-3)我们可以得到四点共面的另外一个证明方法.设四个点,,,ABCD的仿射坐标分别为(,,)iiixyz(i=1,2,3,4),则,,,ABCD共面的充分必要条件是11122233344411011xyzxyzxyzxyz事实上,,,ABCD共面也就是,,DADBDC共面.从而,其充分必要条件为81424341424341424340xxxxxxyyyyyyzzzzzz即1112223334441111xyzxyzxyzxyz=0从而得到以上结论.2.3两向量共线的条件定理2.3两向量a,b在空间仿射标架123[;,,]oeee中的坐标分别为(123,,aaa)和(123,,bbb),则a,b共线的充要条件是221111333322abababababab=0(2-4)证明必要性设a,b共线.若a=0,则结论显然成立.若设a0,于是有实数k使得bka,所以iibka(i=1,2,3),从而有1122abab=1122akaaka=0同理也可以证明其余两个行列式也等于零.充分性由已知条件知233213311221aaabaaababab即312123aaabbb因此a,b共线.92.4拉格朗日恒等式定理2.4对任意四个向量a,b,c,d有()()accdabcdbcbd事实上,由向量混合积的有关性质易证()()[()][()()]abcdabcdabdcbcd()()()()bdacbcadacadbcbd3.行列式在求多边形或多面体的面积或体积中的应用3.1过空间中不共线三点的平行四边形的面积定理3.1对不共线的三点(,,)iiiiPxyz(i=1,2,3),则以12PP,13PP为邻边的平四边形的面积是222123S其中1112233111yzyzyz,1122233111zxzxzx,1132233111xyxyxy事实上,因为12212121(,,)PPxxyyzz,13313131(,,)PPxxyyzz所以,1213212121313131ijkPPPPxxyyzzxxyyzz212121212121313132323131yyzzzzxxxxyyijkyyzzzzxxxxyy10233112233112233112111111111xxxxxxyyiyyjyykzzzzzz所以,S等于1213PPPP的模,即为222123S推论1以(,,)iiiiPxyz(i=1,2,3)为顶点的三角形的面积为22212312S(3-1)推论2以(,,)iiiiPxyz(i=1,2,3)为顶点的三角形的面积为11223311121xySxyxy(3-2)需要注意的是,此处1231PPPP形成逆时针方向的回路,否则,(3-2)右边的行列式前边应该加负号.3.2已知各顶点的坐标,求多边形的面积如果已知平面上n边形12PP……nP各顶点的坐标(,)iiiPxy(i=1,2,……n)则此多边形的面即可以表示为n个行列式之和,即定理3.2多边形12PP……nP(假定12PP……1nPP形成按逆时针方向旋转的回路)的面积是2211332212xyxySxyxy+……+1111nnnnnnxyxyxyxy(3-3)三角形的面积公式(3-2)也可以写成22113333221112xyxyxySxyxyxy