2016数模选修——灰色预测与灰色关联度分析详解

1灰色系统理论及应用灰色系统灰色关联度分析灰色预测2灰色系统理论简介著名学者邓聚龙教授于20世纪70年代末、80年代初提出；诞生标志：邓教授第一篇灰色系统论文“TheControlProblemsofGreySystems”，发表于北荷兰出版公司期刊System&ControlLetter,1982,No.5。3灰色系统理论的研究对象“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本、贫信息”不确定性系统。灰色系统理论的研究内容灰哲学、灰生成、灰分析、灰建模、灰预测、灰决策、灰控制、灰评估、灰数学等。灰色系统理论的应用领域农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、图像信息、生命科学、控制科学等。4项目灰色系统概率统计模糊数学研究对象贫信息不确定随机不确定认知不确定基础集合灰色朦胧集康托集模糊集方法依据信息覆盖映射映射途径手段灰序列算子频率统计截集数据要求任意分布典型分布隶属度可知侧重点内涵内涵外延目标现实规律历史统计规律认知表达特色小样本大样本凭经验三种不确定性系统研究方法的比较分析(灰色系统理论、概率统计、模糊数学)5•黑色系统是指一个系统的内部信息对外界来说是一无所知的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。•灰色系统内的一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，系统内各因素间有不确定的关系。灰色系统、白色系统和黑色系统•白色系统是指一个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是完全充分的。6灰色系统基本原理1、差异信息原理：差异即信息，凡信息必有差异。2、解的非唯一性原理：信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理是灰色系统理论解决实际问题所遵循的基本法则。3、最少信息原理：灰色系统理论的特点是充分利用已占有的“最少信息”。4、认知根据原理：信息是认知的根据。5、新信息优先原理：新信息对认知的作用大于老信息。6、灰性不灭原理：“信息不完全”是绝对的。7灰色系统理论的主要内容灰色系统理论经过20多年的发展，已基本建立起了一门新兴学科的结构体系，其主要内容包括以“灰色朦胧集”为基础的理论体系、以灰色关联空间为依托的分析体系、以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色模型（GM）为核心的模型体系。以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。8灰色系统的应用范畴灰色系统的应用范畴大致分为以下几方面：（1）灰色关联分析。（2）灰色预测：人口预测；初霜预测；灾变预测….等等。（3）灰色决策。（4）灰色预测控制。灰色系统理论是人们认识客观系统改造客观系统的一个新型的理论工具。9灰色关联分析10一、关联分析的背景客观世界中的事物往往现象复杂，因素繁多。我们往往需要对系统进行因素分析，这些因素中哪些对系统来讲是主要的，哪些是次要的，哪些需要发展，哪些需要抑制，哪些是潜在的，哪些是明显的。一般来讲，这些都是我们极为关心的问题。事实上，因素间关联性如何、关联程度如何量化等问题是系统分析的关键和起点。11因素分析的基本方法过去主要采取回归分析、方差分析，主成分分析等办法，但是这种方法需要大量数据作为基础，计算量大。而灰色系统理论采用的关联分析方法可以克服这个弊端。灰色系统理论进行系统分析的方法：关联度分析法122.灰色关联分析法灰色关联分析是灰色系统理论的一个分支．应用灰色关联分析方法对受多种因素影响的事物和现象从整体观念出发进行综合评价是一个被广为接受的方法．基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。曲线越接近，相应序列之间关联度就越大，反之就越小。13应用举例问题：对该地区总收入影响较直接的是养猪业还是养兔业？1415灰色关联分析法的步骤利用灰色关联分析进行综合评价的步骤是：1．根据评价目的确定评价指标体系，收集评价数据。设n个数据序列形成如下矩阵：mxmxmxxxxxxxXXXnnnn21212121222111,,其中为指标的个数,mnimxxxXTiiii,,2,1,,,2,1162．确定参考数据列参考数据列应该是一个理想的比较标准，可以以各指标的最优值（或最劣值）构成参考数据列，也可根据评价目的选择其它参照值．记作TmxxxX0000,,2,)1(173．对指标数据进行无量纲化无量纲化后的数据序列形成如下矩阵：01010101111222,,,nnnnxxxxxxXXXxmxmxm18常用的无量纲化方法有均值化法（见（12－3）式）、初值化法（见（12－4）式）和标准化变换等．sxx1(123)1(124)10,1,,1,2,,.iimikiiixkxkxkmxkxkxinkm；19或采用内插法使各指标数据取值范围（或数量级）相同．例如，某地县级医院病床使用率最高为90%，最低为60%，我们可以将90%转化10，60%转化为1，其它可以通过内插法确定其转化值．如80%转化为多少？可进行如下计算：解之得，即80%转化为7．608060901110x204．逐个计算每个被评价对象指标序列（比较序列）与参考序列对应元素的绝对差值即（）为被评价对象的个数）．5．确定与)()(0kxkximk,,1ni,,1n)()(minmin011kxkximkni)()(maxmax011kxkximkni两级最小差4．逐个计算每个被评价对象指标序列（比较序列）与参考序列对应元素的绝对差值即（）为被评价对象的个数）．5．确定与两级最小差两级最大差216．计算关联系数由（12－5）式，分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数．0000minmin()()maxmax()()()125)()()maxmax()()iiikikiiiikxkxkxkxkkxkxkxkxk（mk,,10.5式中为分辨系数，在（0，1）内取值，若越小，关联系数间差异越大，区分能力越强。通常取227．计算关联度对各评价对象（比较序列）分别计算其个指标与参考序列对应元素的关联系数的均值，以反映各评价对象与参考序列的关联关系，并称其为关联度，记为：00{()}(){()}()xkkxkkii如果为最优值数据列，越大，越好；如果为最劣值数据列，越大，越不好。011()miikrkm238．如果各指标在综合评价中所起的作用不同，可对关联系数求加权平均值即9．依据各观察对象的关联度，进行排序，得出综合评价结果．011(),mikikkrWkmmW（k=1,）式中为各指标权重。243.灰色关联分析的应用举例例1：利用灰色关联分析对6位教师工作状况进行综合评价1．评价指标包括：专业素质、外语水平、教学工作量、科研成果、论文、著作与出勤．2．对原始数据经处理后得到以下数值，见下表编号专业外语教学量科研论文著作出勤189875292787573839796647468884365866983868957648253．确定参考数据列：4．计算，见下表0{}{9,9,9,9,8,9,9}x0()()ixkxk编号专业外语教学量科研论文著作出勤110123702212416130203252431114635133006161042251265．求最值6．依据（12－5）式，取计算，得011minmin()()min(0,1,0,1,0,0)0nmiikxkxk011maxmax()()max(7,6,5,6,6,5)7nmiikxkxk111111100.5700.57(1)0.778(2)1.00010.5700.57(3)0.778(4)0.636(5)0.467(6)0.333(7)，＝，＝，＝，＝＝1.000，0.5＝27同理得出其它各值，见下表编号10.7781.0000.7780.6360.4670.3331.00020.6360.7780.6360.4670.6360.3680.77831.0000.6361.0000.5380.5380.4120.63640.5380.7780.7780.7780.4120.3680.53850.7780.5380.5381.0000.7780.3680.77860.7781.0000.4670.6360.5380.4120.778(1)i(2)i(3)i(4)i(5)i(6)i(7)i287．分别计算每个人各指标关联系数的均值（关联序）：8．如果不考虑各指标权重（认为各指标同等重要），六个被评价对象由好到劣依次为1号，5号，3号，6号，2号，4号．即010.7781.0000.7780.6360.4670.3331.0000.7137r02030405060.6140.6800.5990.6830.658rrrrr，，，，010503060204rrrrrr29存在的问题及解决方法30《灰色预测与决策模型研究》党耀国刘思峰等著科学出版社本书中提及了一些其它的灰色关联度，如绝对关联度，相对关联度等等，并且针对各自的适用范围进行了讨论。所以如果是在数学建模的过程中，我们可以根据实际的需要，确定我们的关联度的计算公式。31生成数32将原始数据列中的数据,按某种要求作数据处理称为生成.客观世界尽管复杂,表述其行为的数据可能是杂乱无章的,然而它必然是有序的,都存在着某种内在规律,不过这些规律被纷繁复杂的现象所掩盖,人们很难直接从原始数据中找到某种内在的规律.对原始数据的生成就是企图从杂乱无章的现象中去发现内在规律.常用的灰色系统生成方式有:累加生成,累减生成,均值生成,级比生成等.331.累加生成累加生成,即通过数列间各时刻数据的依个累加以得到新的数据与数列.累加前的数列称原始数列,累加后的数列称为生成数列.累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法,它在灰色系统理论中占有极其重要地位,通过累加生成可以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律加以显化.累加生成是对原始数据列中各时刻的数据依次累加,从而生成新的序列的一种手段.34(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)[(1),(2),,()],,[(1),(2),,()],:xxxxxnxxxxxnxx令为原始序列,记生成数为如果与之间满足如下关系(1)(0)1()();1,2,,(21)kixkxikn,1()AGOAccumulatingGenerationOperator一次累加生成则称为记为:r次累加生成有下述关系()(1)1()()(22)krrixkxi352.一次累加生成算例例：x(0)=(3.2，3.3，3.4，3.6，3.8)求x(1)(k)解：21)0()0()0()1()0()1(5.63.32.3)2()1()()2(,22.3)1()1(,1ixxixxkxxk51)0()1()0()1()0()1(41)0()1()0()1(31)0()1(3.178.35.13)5()4()()5(,55.136.39.9)4()3()()4(,49.94.35.6)3()2()()3(,3iiixxixxkxxixxkxxixxk36累加生成在灰色系统理论中有着非常重要的地位,它能使任意非负数列,摆动的或非摆动的,转化为非减的的,递增的数列.37•对非负数据，累加次数越多则随机性弱化越多，累加次数足够大后，可认为时间序列已由随机序列变为非随机序列。•一般随机序列的多次累加序列，大多可用指数曲线逼近。3