2.1曲线的参数方程

第二讲参数方程1.参数方程的概念？救援点投放点一架救援飞机在离灾区地面500m高处100m/s的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？如图，建立平面直角坐标系。因此,不易直接建立x,y所满足的关系式。x表示物资的水平位移量，y表示物资距地面的高度，由于水平方向与竖直方向上是两种不同的运动，xy500oxy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿ox作初速为100m/s的匀速直线运动；（2）沿oy反方向作自由落体运动。在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有什么关系？t时刻，水平位移为x=100t，离地面高度y，即：y=500-gt2/2，2100,1500.2xtygt物资落地时，应有y=0，得x≈1010m；即500-gt2/2=0，解得，t≈10.10s，因此飞行员在距离救援点水平距离约为1010米时投放物资，可以使其准确落在指定位置。参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x,y都可以表示为某个变量t的函数),(),(tgytfx反过来，对于t的每一个允许值，由函数式所确定的点P(x,y)都在曲线C上，那么方程叫做曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数。tx100221500gty-）（100t参数方程普通方程，50020002xy-）（10000xx,y的间接联系x,y的直接联系例1:已知曲线C的参数方程是（为参数）(1)判断点M1(0，1)，M2(5，4)与曲线C的位置关系；(2)已知点M3（6，a）在曲线C上，求a的值。1232tytx解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所以M1在曲线上．124352tt把点M2的坐标(5,4)代入方程组，得到这个方程无解，所以点M2不在曲线C上．12362tat(2)因为点M3(6,a)在曲线C上，所以解得t=2,a=9所以，a=9.为参数）ttytx(3412练习1、曲线与x轴的交点坐标是()BA(1，4)；B(25/16,0)C(1,-3)D(±25/16,0))(cossin为参数yx2、方程所表示的曲线上一点的坐标是()DA(2，7)；B(1/3,2/3)C(1/2,1/2)D(1，0))(212Ratatytx为参数，3已知曲线C的参数方程是点M(5,4)该曲线上.(1)求常数a;（2）求曲线C的普通方程(1)由题意可知:1+2t=5，at2=4；a=1，t=2；21)2(xt代入第二个方程得:y=(x-1)2/44动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向的速度分别为5和12,运动开始时位于点P(1,2),求点M的轨迹参数方程.tytx12251解：设动点M(x,y)运动时间为t，依题意，得轨迹是所表示的一族圆的圆心参数为、由方程)(045245222tttytxyxA一个定点B一个椭圆C一条抛物线D一条直线D圆的参数方程yxorM(x,y)0M圆周运动中，当物体绕定轴作匀速运动时，物体上的各个点都作匀速圆周运动，怎样刻画运动中点的位置呢？cos,sinxyttrr那么θ=ωt.设|OM|=r，那么由三角函数定义，有如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x,y)，cos()sinxrttyrt为参数即这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程参数t有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻)cos()sinxryr为参数考虑到θ=ωt，也可以取θ为参数，于是有cos()sinxryr为参数圆心为原点半径为r的圆的参数方程.其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度)(sincos为参数rbyrax),(1baO圆心为，半径为r的圆的参数方程一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，另外，要注明参数及参数的取值范围。vbaPxyrxOy解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，为(x+1)2+(y-3)2=1∴参数方程为sin3cos1yx(θ为参数)例1已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。.,,)20,(sin3cos2)3,1(),223,2(),0,2(出它对应的参数值求若在曲线上上为参数是否在曲线判断点yxCBA练习：例2如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。yoxPMQxOP2cos62sin3cos,sin22xy3cos,()sin.xy为参数解：设点M的坐标是(x,y),则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ).由中点坐标公式可得因此，点M的轨迹的参数方程是2222xy(为参数)上任意一点,则2cos12sin1xy1点P(x,y)是曲线的最大值为.23AMAP2(4cos12,4sin)3.2216xy2已知点P是圆上一个动点,定点A(12,0)，点M在线段PA上，且2|PM|=|MA|，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹．xOP解：设点M的坐标是(x,y),则点P的坐标是(4cosθ,4sinθ).∵2|PM|=|MA|,∴由题设∴(x-12,y)=884cos,sin33xy84cos,3()8sin.3xy为参数因此，点M的轨迹的参数方程是练习参数方程和普通方程的互化表示什么曲线？思考：参数方程sin3cosyxcos3,()sinxMy由参数方程为参数直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，则比较简单。2222cos3,sincos(3)1sinxxyyM由参数方程得：所以点的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。1()12tytx=t(1)为参数sincos().1sin2yx=(2)为参数例1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？11tx解:(1)由1xt得ty21代入)1(32xxy得到这是以（1，1）为端点的一条射线；)4sin(2cossin)2(x2,2x2,2x所以2sin1cossinyx平方后减去把yx2得到22)22)这是以(-，,(，为端点的一段抛物线步骤：（1）消参；（2）求定义域。练习、将下列参数方程化为普通方程：sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2（1）(x-2)2+y2=9（2）y=1-2x2（-1≤x≤1）（3）x2-y=2（x≥2或x≤-2）注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.22194xy例2求椭圆的参数方程：3cos,x(1)设为参数；2,ytt(2)设为参数.为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？解：x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，2tytx代入y=x2后满足该方程，2224sinABCDsinxtxtxtxtytytytyt、、、、1、曲线y=x2的一种参数方程是（）.在y=x2中，x∈R,y≥0，分析:因而与y=x2不等价；在A、B、C中，x,y的范围都发生了变化，而在Ｄ中，且以练习:D从而D是曲线y=x2的一种参数方程.2、求参数方程)20()sin1(21|,2sin2cos|yx表示（）（A）双曲线的一支，这支过点（1，21）：（B）抛物线的一部分，这部分过（211，）；（C）双曲线的一支，这支过点（–1，21）；（D）抛物线的一部分，这部分过（–1，21）B分析一般思路是：化参数方程为普通方程求出范围、判断。解x2=2)2sin2(cos=1+sin=2y，普通方程是x2=2y，为抛物线。|cossin|2sin()2224x又02，0x2故应选(B)说明:这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法是最好的方法。小结1.参数方程的概念；2.圆的参数方程；3.参数方程与普通方程的互化.P26习题2.14、5作业：tan3sin4yx练习P是双曲线(t是参数)上任一点，F1,F2是该焦点：求△PF1F2的重心G的轨迹的普通方程。小结1.参数方程的概念；2.圆的参数方程；3.参数方程与普通方程的互化.210yxy1yt(1)，设，t为参数；111222xya4cosxa(2)，设，为参数。练习把下列普通方程化为参数方程：)1(3)1(2)1(22ttyttx)t(.t1ty,t1tx)2(为参数练习把下列参数方程化为普通方程5cos()3sinxy为参数(3)tytx4321)4((t是参数)33(12cos)(22sin)156cos2sin5210cos()(tan)3Sxy所以maxmin5210,5210SS4)2()1(22yxyxS3例3已知x、y满足,求的最大值和最小值．12cos,()22sin.xy为参数解：由已知圆的参数方程为cos2(sinxyyx3332点P(x,y)是曲线为参数)上任意一点，则的最大值为()A1B2CD练习22(5)(4)xy2cossinxy1P(x,y)是曲线(α为参数)上任意一点,则的最大值为()AA．36B．6C．26D．25D2224cos4sin30(0)xyRxRyRR3圆的圆心的轨迹是()A．圆B．直线C．椭圆D．双曲线A