函数与极限练习题

1第一章函数与极限§1函数一、是非判断题1、)(xf在X上有界，)(xg在X上无界，则)()(xgxf在X上无界。[]2、)(xf在X上有界的充分必要条件是存在数A与B，使得对任一Xx都有BxfA)([]3、)(),(xgxf都在区间I上单调增加，则)(·)(xgxf也在I上单调增加。[]4、定义在（，）上的常函数是周期函数。[]5、任一周期函数必有最小正周期。[]6、)(xf为（，）上的任意函数，则)(3xf必是奇函数。[]7、设)(xf是定义在aa,上的函数，则)()(xfxf必是偶函数。[]8、f(x)=1+x+2x是初等函数。[]二．单项选择题1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是（A）||lnxey（B）2xy（C）44xy（D）xxysgn2、下列函数中既是奇函数，又是单调增加的。（A）sin3x（B）x3+1（C）x3+x（D）x3-x3、设)(,2)(,)(22xxfxxfx则函数是（A）x2log（B）x2（C）22logx（D）2x4、若)(xf为奇函数，则也为奇函数。(A));0(,)(ccxf(B))0(,)(ccxf(C));()(xfxf(D))].([xff三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。1、y=)1arctan(xe2、y=xxx3、y=xlnlnln2四．设f(x)的定义域D=[0，1]，求下列函数的定义域。（1）f()2x(2)f(sinx)(3)f(x+a)(a0)(3)f(x+a)+f(x-a)(a0)五．设,,2)(xxxf00xx，,3,5)(xxxg00xx，求)]([xgf及)]([xfg。六．利用xxfsin)(的图形作出下列函数的图形：1．|)(|xfy2。|)(|xfy3．2)(xfy4。)2(xfy5．)(2xfy6。)2(xfy3§2数列的极限一是非判断题1、当n充分大后，数列nx与常数A越来接近，则.limAxnx[]2、如果数列nx发散，则nx必是无界数列。[]3。如果对任意,0存在正整数N，使得当nN时总有无穷多个nx满足|nx|a，则.limaxnn[]4、如果对任意,0数列nx中只有有限项不满足|nx|a，则.limaxnn[]5、若数列nx收敛，列ny发散，则数列nnyx发散。[]二．单项选择题1、根据axnnlim的定义，对任给,0存在正整数N，使得对nN的一切xn，不等式axn都成立这里的N。（A）是的函数N()，且当减少时N（）增大；（B）是由所唯一确定的（C）与有关，但给定时N并不唯一确定（D）是一个很大的常数，与无关。2、为偶数当为奇数当nnnxn,10,17则。（A）;0limnnx（B）;10lim7nnx（C）;,10,,0lim7为偶数为奇数nnxnn(D)不存在nnxlim3、数列有界是数列收敛的。（A）充分条件；（B）必要条件；（C）充分必要条件；（D）既非充分又非必要条件。4、下列数列nx中，收敛的是。（A）nnxnn1)1(（B）1nnxn（C）2sinnxn（D）nnnx)1(三．根据数列极限的定义证明。（1）01lim2nn（2）321312limnnn4（3）0sinlimnnn（4）21)21(lim222nnnnn四、若0limnnx，又数列ny有界，则0limnnnyx。五、若axnnlim，证明||||limaxnn。反过来成立吗？成立给出证明，不成立举出反例。5§3函数的极限一是非判断题1、如果)(0xf=5，但则,4)0()0(00xfxf)(lim0xfxx不存在。[]2、)(limxfx存在的充分必要条件是)(limxfx和)(limxfx都存在。[]3、如果对某个,0存在,0使得当0||0xx时，有,|)(Axf那末.)(lim0Axfxx[]4、如果在0x的某一去心邻域内，,0)(xf且.0,)(lim0AAxfxx那末[]5、如果Axfx)(lim且,0A那么必有,0X使x在XX,以外时.0)(xf[]二．单项选择题1、从1)(lim0xfxx不能推出。（A）1)(lim00xfxx（B）1)0(0xf（C）1)(0xf（D）0]1)([lim0xfxx2、)(xf在0xx处有定义是)(lim0xfxx存在的。（A）充分条件但非必要条件；（B）必要条件但非充分条件（C）充分必要条件；（D）既不是充分条件也不是必要条件3、若,11)(,1)1()(22xxxgxxxf则。（A）)()(xgxf（B）)()(lim1xgxfx（C）)(lim)(lim11xgxfxx（D）以上等式都不成立4、)(lim)(lim0000xfxfxxxx是)(lim0xfxx存在的。（A）充分条件但非必要条件；（B）必要条件但非充分条件（C）充分必要条件；（D）既不是充分条件也不是必要条件四．根据函数极限的定义证明（1）8)13(lim3xn（2）444lim22xxx6（3）2121lim33xxx（4）2)4(lim2xxxx五．求xxx0lim六．设f(x)=1;21;13xxxx求（1）)(lim1xfx（2）)(lim2xfx（3）)(lim0xfx七．设函数||35||3)(xxxxxf，求（1）)(limxfx（2）)(limxfx（3）)(lim0xfx（4）)(lim0xfx（5）)(lim0xfx7§4无穷小与无穷大一、是非题1、零是无穷小。[]2、x1是无穷小。[]3、两个无穷小之和仍是无穷小。[]4、两个无穷小之积仍是无穷小。[]5、两个无穷大之和仍是无穷大。[]6、无界变量必是无穷大量。[]7、无穷大量必是无界变量。[]8、0,xx是时的无穷小，则对任意常数A、B、C、D、E，EDaCBAa22也是0xx时的无穷小。[]二．单项选择题1、若x是无穷小，下面说法错误的是。（A）x2是无穷小；（B）2x是无穷小；（C）x-0．0001是无穷小；（D）-x是无穷小。2、在X→0时，下面说法中错误的是。（A）xsinx是无穷小（B）是无穷小xx1sin(C)x1sinx1是无穷大;(D)x1是无穷大。3、下面命题中正确的是。（A）无穷大是一个非常大的数；（B）有限个无穷大的和仍为无穷大；（C）无界变量必为无穷大；（D）无穷大必是无界变量。三．下列函数在指定的变化趋势下是无穷小量还是无穷大量（1）lnx)1(x及)0(x（2）)21(sinxx)0(x(3)xe)(x及)(x(4)xe1)0(x、)0(x及)0(x四．证明函数xxycos在),0(内无界，但当x时，这函数不是无穷大。8§5极限的运算法则一．是非题1、R)()()(xQxpx是有理分式，且)(,0)(xTxQ是多项式，那末).()()()(lim000xTxRxTxRxx[]2、.0lim...2lim1lim...321lim2222nnnnnnnnnn[]3、00011limsinlim.limsin0xxxxxxx[]4、若则可断言且存在,0)(lim,)()(lim00xgxgxfxxxx0)(lim0xfxx[]二．计算下列极限（1）35lim22xxx（2）112lim221xxxx（3）hxhxh220)(lim（4）121lim22xxxx5）13lim2420xxxxx（6）4586lim224xxxxx（7）)2141211(limnn（8）2)1(321limnnn（9）)1311(lim31xxx（10）35)3)(2)(1(limnnnnn（11）xexxarctanlim（12）xxx1sin1sinlim0（13）)11(lim22xxx（14）12limxxxxx四．已知22lim222xxbaxxx，求常数,a和b。五．已知1)11(lim23baxxxx，求常数,a和b。9§6极限存在准则，两个重要极限一．是非题1、,limlimazynnnn且当nN时有.lim,axzxynxnnn那么[]2、如果数列nx满足：（1）为常数anaxn...,2,1(；（2）xnxn+1(n=1,2…).则xn必有极限[]3、1sinlimxxx[]4、1)11(limnnn[]5．xxx10)1(lim[]二．单项选择题1、下列极限中，极限值不为0的是。（A）;limxarctgxx（B）xxxxcos3sin2lim（C）xxx1sinlim02（D）242limxxxx2、若且),()(xxf则必有bxaxBxAxf,)(lim,)(lim。（A）AB(B)A≥B(C)|A|B(D)|A|≥|B|3、1000)11(limnxn的值是。(A)e(B)e1000(C)e·e1000(D)其它值4、xtgxxsinlim。(A)1(B)-1(C)0(D)5、)sin11sin(lim0xxxxx。(A)-1(B)1(C)0(D)不存在三．计算下列极限（1）xxx20sinlim（2）xxtgx3lim0（3）axhhcos1lim0（4）xxxxsin2cos1lim010（5）xxx10)1(lim（6）xxx21lim0（7）xxxx2)1(lim（8）kxxx)11(lim（k为正整数）（9）xxx32)11(lim（10）xxxcos20)sin31(lim（11）xxxx3sin11lim0（12）xxxxxx)cos1(1sin3sinlim20三．利用夹逼准则证明：1)12111(lim222nnnnnn四．设01ax，)2(211nnnxxx,3,2,1n，利用单调有界准则证明：数列}{nx收敛，并求其极限。§7无穷小的比较11一，．是非题1、,,是同一极限过程中的无穷小，且,~,~则必有~。[]2、0x时0limsinsinlim,~sin303xxxxxtgxxxxx[]3、已知11coslim0xxx，由此可断言，当)1(cos,0xxx与时为等价无穷小。[]4．当0x时，x3sin与1xe是同阶无穷小。[]5．当1x时，31x是1x的高阶无穷小。[]二．单项选择题1、x→0时，1—cosx是x2的。(A)高阶无穷小(B)同阶无穷小，但不等价(C)等价无穷小(D)低阶无穷小2、当x→0时，（1—cosx）2是sin2x的。(A)高阶无穷小(B)同阶无穷小，但不等价(C)等价无穷小(D)低阶无穷小3、如果应满足则高阶的无穷小是比时cbaxcbxaxx,,,111,2。(A)1,1,0cba(B)为任意常数cba,1,0(C)为任意常数cba,,0(D)都可以是任意常数cba,,4、1x时与无穷小x1等价的是。(A)3121x(B)x121(C)2121x(D)x15．下列极限中，值为1的是。(A)xxxsin2lim(B)xxxsin2l