07第七章 截面的几何性质

第五章平面图形的几何性质(Geometricalpropertiesofplanegraph)拉压正应力ANdAA扭转切应力pITApdAI2弯曲正应力zIMyAzdAyI2应力的计算通常用要到构件截面的几何参数，例如：统一为)ρz,y,x,s,t(dAstnnmm=0零次矩(或面积)Momentofzeroorderm=1一次矩、线性矩(或静矩)Momentoffirstorderm=2二次矩(或惯性矩、积)Momentofsecondorder实质——1、数学，不是力学2、颠倒了学科发展顺序（历史是：弯曲内力—弯曲应力—惯性矩）目的——1、翦除弯曲前面的拦路虎之一（惯性矩)2、从更高的观点，统一截面几何性质3、便于学习（弊病：只有大厦，无脚手架）dAA零次矩：一次矩（静矩）：ydASzzdASyC(zc,yc)yozdA面积A5.1静矩（Staticalmoment)、形心(Centroid)形心C的坐标：ASdAzdAzycASdAydAyzc1、为什么用z-y坐标而不是x-y坐标？2、为什么AydA对应于zS而不是yS[思考]形心：使平面图形各微元静矩和为零的坐标原点,cdA0AcAdAc/dAdAc,ozydACc,对称图形形心的位置有一个对称轴：形心C位于该轴上yCz有两个对称轴：两个对称轴的交点就是形心C的位置zyCCzy对某点对称（中心对称）：形心C位于对称中心由n个规则形状组成的图形yCzzyniiAA1niiicniizAydAyydAS11组合（复合）图形的形心niiniiicycAAzASz11niiniiiczcAAyASy11niiicniiyAzdAzzdAS11已知b,c,t，求C的坐标22111bytzbtAcc22)(222tytczttcAcc)(21tcbtAAA)(2222211tctbtAyAySccz)(2222211tcbttAzAzSccycCzyC2C1btt0C1、C2、C的坐标:),,(11ccyz),,(22ccyz),(ccyz组合图形的形心算例)(222tcbtcbtASzyc)(222tcbtctbASyzc注1：由两块组成组合图形，其复合图形形心一定位于两个子图的形心连线上注2：组合图形形心计算公式也适用于负面积情况，但要记住面积为负号“负面积”zyC1C2C212211)(AAAyAyyccc212211)(AAAzAzzccc惯性矩dAyIz2dAzIy2yzdAIyz惯性积ozydA面积Azy5.2惯性矩（Momentofinertia)与惯性积(Productofinertia)（二次矩，Momentofsecondorder）——质点Newton定律dtdvmF对于平面图形，当密度取单位值时，dm=dA，此时转动惯量就等于极惯性矩你们是否遇到过二次矩？推广到刚体，何种形式？dtdIM——I是什么？dmI2转动惯量（Rotationalinertia）：dtdvmF力学问题中，有不同层次的外因、内因—结果关系1、外力、受力物性能—运动响应2、内力、截面量—变形响应（应力等）温故知新，我们进行类比动力学材料力学dtdIM拉压）(AN弯曲）扭转）(yIM(ITz惯性矩、惯性积的性质（1）惯性矩为正，即,Iz00yI（2）若图形有一对称轴，其惯性积为零0yzIpyzIII（3）任一点为原点的所有正交坐标系中，两个惯性矩之和等于不变的极惯性矩Ip值（4）组合图形惯性矩（积）为各个子图惯性矩（积）之和CzCCzzyyy0yzI0yzI??0yzICCdA)yz(Ip21211dA)yz(22222pI座标转动不改变极惯性矩dA2Z1Y1Z2Y2OA例题5.4[P133]圆截面的惯性矩设圆截面直径D，则圆方程为4222Dzy6442002222Ddd)(cosdAzIDyzydAdsinycosz6442002222Ddd)(sindAyIDz??0yzIdddA其他方法——1、书中微元2、极惯性矩的一半问题的提出工程问题的许多截面（工字、丁字、槽形等）是简单截面（如矩形）的组合，总惯性矩=分惯性矩之和，而分惯性矩在各自的形心坐标系中计算将分惯性矩转换到总形心坐标系时，要考虑坐标系转换的影响分坐标系与总形心坐标系通常是平行关系，于是就抽象出惯性矩计算的平行移轴问题5.3平行移轴公式（平行轴定理Parallelaxistheorem）cccczyzyI,I,I已知：yzzyIII,,计算：bzzayy11oC(zc,yc)zyabdA1z1y面积Az1—y1为形心坐标系AaIAaAzaIdAadAyadAydA)ay(dAyIcczczz22212121222dAzdAASzyc复习：形心的定义dAydAASyzc同理AbIIcyy2abAIIccyzzy例题矩形11231thIzthA1矩形21232btIztbA2已知组合截面尺寸：mmbmmhmmt100,140,20计算截面对轴z的惯性矩bthtz2z1zC1C2Cys以（z2,y2)为基准坐标，则212211AAAyAysyccc2012hty,ycc确定移轴量（a,b)矩形1到z轴的距离:0,2211bshta矩形2到z轴的距离:0,22bsa由平行移轴定理121)1(1AaIIzz矩形1对z轴的惯性矩:矩形2对z轴的惯性矩:222)2(2AaIIzz整个截面的惯性矩：)2()1(zzzIIIbthtz2z1zCC2ysC1sinzcosysinOFcosAFGFAEDEAEADy1coszsinycosOFsinAFOGFEOGGDODz1z1y1OAzyHBCDEFG如同平行移轴问题，转轴问题也很重要,且对弯曲受力合理很关键书上的推导5.4转轴公式（Formulaofrotationofaxes)、主惯性轴(Principalaxes)和主惯性矩(Principalmomentofinertia)坐标转换的矩阵形式zyzycossinsincos11),(),(11zyAzyAGFycosy1z1y1OAzyHBCDEFG操作式的推导用投影代替转动《y变y1的操作》1、y（AF）向y1轴投影得y1+GF2、再减去GF得y1sinzcosyGFcosyy1GDzcosz1coszsinycoszFEcoszGDz1z1y1OAzyHBCDEFG《z变z1的操作》1、z（OF）向z1轴投影得z1-GD2、再加上GD得z1[思考]能否用复数推导？C1，C为复数（Complexnumber），i为虚单位sinicose,CeCiyzC,iyzCii1111已知：截面对y、z轴的惯性矩、惯性积yzzyIII,,求解：截面对y1、z1轴的惯性矩、惯性积1111,,zyzyIII2sin2cos22)2(sin22cos122cos12sin22cos122cos1cossin2sincos)sincos(2222222211yzyzyzyzyzzIIIIIIIIyzdAdAzdAydAyzdAzdAydAzydAyIpyzyzIIIII11显然22221sinIcosIIIIIyzyzyzz22221sinIcosIIIIIyzyzyzy22211cosIsinIIIyzyzzy创造的机遇——提出问题：因为角度对应坐标系，在哪个坐标系中，惯性矩为极大（或极小）？意义——对于给定的截面，选择坐标系使惯性矩最大（抵抗弯曲的能力最强），避免惯性矩最小01ddIz0)2cos2sin2(2yzyzIIIyzyzIIItg2201ddIy011zyI说明取极大（或极小）惯性矩时惯性积等于零yzyzIIItg2221,2250121/)),II/(I(tgarc.yzyz由方程21,确定两个相互垂直的轴——主惯性轴z1y1O1zy2也就是说：1、对于给定的截面坐标轴选择得恰当，惯性矩极大；2、同时，惯性矩极小的坐标轴，恰好与前者（惯性矩极大的坐标轴）垂直；3、两个坐标轴组成了——主惯性坐标系求解出主惯性矩：主惯性轴上的惯性矩2sin2cos222sin2cos2211yzyzyzyyzyzyzzIIIIIIIIIIII将代入21,得到一大一小两个主惯性矩：xyyzyzmaxI)II(III224212xyyzyzminI)II(III224212主形心惯性系：坐标原点取在截面形心上的主惯性系主形心惯性矩：主形心惯性轴上的惯性矩截面几何性质小结1.静矩、惯性矩依赖坐标系数值不同，但是不同坐标系中的数值有一定的关系2.Iz、Iy恒为正，Sz、Sy、Iyz可正可负，与坐标轴位置有关3.对形心轴静矩为0，对称轴Iyz=0，对称轴就是形心主惯性轴4.平行移轴公式中，对形心轴的惯性矩最小5.主惯性系不唯一，但主形心惯性系唯一；主形心惯性矩一个为最大，一个为最小