3-1矩阵的初等行变换

第三章矩阵的初等变换与线性方程组内容简介•矩阵的初等变换•矩阵的秩•线性方程组的解第一节矩阵的初等变换•初等矩阵•矩阵的初等行变换•利用矩阵的初等行变换求矩阵的逆矩阵123412341234123422244622436979xxxxxxxxxxxxxxxx1234123412341234242223236979xxxxxxxxxxxxxxxx①②③2123423423423424222055363343xxxxxxxxxxxxx②2①③2①④3①引例123423423423424055363343xxxxxxxxxxxxx②2123423444240263xxxxxxxxx③+5②④–3②③2④③④12342344240300xxxxxxxx33443231xxxxx用“回代”的方法求出解。于是得解:其中x3可以任意取值。令x3=c,方程组的解可记作:,3344321cccxxxxx30340111cx其中c为任意常数.或1.上述解方程组的方法称为高斯消元法．2.始终把方程组看作一个整体变形,用到三种变换:归纳以上过程:(3)一个方程加上另一个方程的k倍:(2)以不等于零的数k乘某个方程:(1)互换两个方程次序:由于三种变换都是可逆的,所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的.故这三种变换是同解变换.ji)(A若),(B)(B则);(Ajik)(A若),(Bji)(A若),(Bik)(B则);(Aik)(B则).(Akji3.上述三种变换都是可逆的.对方程组施行的三种同解变换实质上是对方程组的系数进行运算，如将方程组的系数用矩阵表示，相应的运算为矩阵的初等变换。123412341234123422244622436979xxxxxxxxxxxxxxxx1234123412341234242223236979xxxxxxxxxxxxxxxx①②③22111211214=(|)4622436979BAb11214211122311236979r1r2r3211214022200553603343123423423423424222055363343xxxxxxxxxxxxx②2①③2①④3①r3–2r1r4–3r1212rr123423423423424055363343xxxxxxxxxxxxx②211214011100553603343r22123423444240263xxxxxxxxx③+5②④–3②③2④③④12342344240300xxxxxxxx11214011100002600013r3+5r2r4–3r211214011100001300000r3–2r4r4r333443231xxxxx11214011100001300000r3–2r4r4r310104011030001300000r2–r3r1–r3r1–r2回代解得13234433xxxxx③2④③④12342344240300xxxxxxxx【定义】下面三种变换称为矩阵的初等行(列)变换:(1)对调两行（列）（对调i与j两行）(3)把某一行（列）所有元素的k倍分别加到另一行（列）对应的元素上去（第j行（列）k倍加到第I行（列）上去）.注1）矩阵的初等行、列变换统称为矩阵的初等变换。2）矩阵的初等变换是可逆的；(2)以数乘第i行（列）的所有元素0k一、矩阵的初等变换二、初等矩阵定义由单位矩阵E经过一次初等变换所得到的矩阵，称为初等矩阵.（1）初等互换矩阵1011()1101iEjji行，行ij列列100(23)001010E，1(())1Eiikk行（2）初等倍乘矩阵i列10000100(3(5))00500001E（3）初等倍加矩阵11(())11kEijjki行行ij列列10500100(13(5))00100001E第j行的k倍加到第i行上初等矩阵都可逆，其逆矩阵仍是初等矩阵，且类别不变；1()()()()TEijEijEijEij11(())(())(())(())TEikEiEikEikk1(())(())(())(())TEijlEijlEijlEjil初等矩阵的性质：初等矩阵的转置矩阵仍是初等矩阵，且类别不变.问题：矩阵的初等变换与初等矩阵之间有何关系？111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa交换1,3行(13)EA3132333412122232411121314aaaaAaaaaaaaa313233342122232411121314=aaaaaaaaaaaa=A1001(13)010100E111213142122232431323334001010100aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa交换1,2列1211131422221232432313334aaaaAaaaaaaaaAE(12)=01001000(12)00100001E121113142221232432313334=aaaaaaaaaaaa1112131421222324313233340100100000100001aaaaaaaaaaaa结论用初等矩阵去左乘A，等于对A施行相对应的初等行变换，用初等矩阵去右乘A，等于对A施行相对应的初等列变换(())AA(())(())AA(())?EikEikEijkEijk，，，问：下列符号产生什么运算结果？111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa11121222200nnmmnaaabbbb行变换1122220000nmmnabbbb列变换222210000nmmnbbbb行变换000rE即存在初等矩阵使得21120=00rstEPPPAQQQ1212,stPPPQQQ特别地，当矩阵A可逆时，2112=stPPPAQQQE112112stttPPPAQQQQEQ121121sttPPPAQQQEQ1112112111sttttPPPAQQQQEQQ11211221stttPPPAQQQEQQ，1112111sttPPPAEQQQ1121ttsQQQPPPAEPAE111121ttsQQQPPPAAEA111121ttsQQQPPPEEAA1PEAAPEE1A得出利用初等行变换求逆矩阵的方法：1||AEEA例1判断矩阵是否可逆？若可逆，求111210110A1A。解111210=02010030110A因为，所以矩阵A可逆。例1设判断矩阵是否可逆？若可逆，求111210110AA-1.()AE11110021001011000111110011110001221011110001221000112/31/30-1-2-2100-2-1-1010033-212131(2)rrrr32(2)rr313r11002/31/301001/32/300112/31/310001/31/301001/32/300112/31/3例1设判断矩阵是否可逆？若可逆，求111210110AA-1.101/31/301/32/312/31/3A11002/31/301001/32/300112/31/323132rrrr21r12rr1=|EA初等行变化求逆矩阵的基本步骤•先写出（A|E），用经初等行变换将其中的A化为上三角，注意此过程中E也同时变化；•依次将上方的元素化为0.3322,,,nnaaa例2设判断矩阵是否可逆？若可逆，求021301233A1A。解021301=0+3200018170233A因为，所以矩阵A可逆。()AE02110030101023300102110013401123300123rr0211001340110911023322rr134011021100091102312rr1634423946A问：这个做法与书上的做法相比哪个更好？