两平面垂直的判定与性质

一、二面角的定义：二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：五、二面角的计算：二面角－AB－二面角C－AB－D二面角－l－1、根据定义作出来——定义法2、利用直线和平面垂直作出来——垂面法3、借助三垂线定理或其逆定理作出来——三垂线法1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算所求的角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。1、二面角的平面角必须满足三个条件2、二面角的平面角的大小与其顶点在棱上的位置无关3、二面角的大小用它的平面角的大小来度量复习回顾：[情境问题]（1）竖电线杆时，电线杆所在的直线与地面应满足怎样的位置呢？（2）为了让一面墙砌得稳固，不易倒塌，墙面所在的平面与地面又应该满足怎样的位置关系呢？容易得出结论：电线杆与地面应该垂直，否则容易倾倒；如果墙面发生倾斜，墙就容易倒塌，所以砌墙时，不能让墙面倾斜．（3）我们怎样用所学知识去描述“墙面不倾斜”这一事实呢？学习新知一、两个平面垂直的定义：二平面α、β相交，所成的二面角是直角，称这两个平面垂直.两个平面垂直的画法：记法：平面α和平面β垂直，记作：α⊥βαβαβ你发现了什么？观察生活已知:AB⊥β,AB∩β=B,ABα求证:α⊥β∩证明:设α∩β=CD,则B∈CD∵AB⊥β,CDβ∴AB⊥CD在平面β内过点B作直线BE⊥CD∴∠ABE是二面角α—CD—β的平面角∵AB⊥βBEβ∴AB⊥BE即∠ABE=90。∴二面角α—CD—β是直二面角∴α⊥β∩∩如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.ABEDC线线垂直线面垂直面面垂直如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.αβaA简记：线面垂直，则面面垂直符号:ll证明两个平面垂直有那些方法？1.定义法2.两平面垂直的判定定理二、两个平面垂直的判定定理:建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？应用于生活[探索研究]：如果两个平面互相垂直，那么在第一个平面内垂直于交线的直线，是否垂直于第二个平面呢？CDABCDAB,,,:已知AB:求证CDBAE,,,:CDABABCD证明,,CDBEBCDB作过垂足0,,90BEABECDABE且是直二面角的平面角即BECDAB和的两条相交直线垂直平面则直线.AB有根据线面垂直判定定理如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.三、两个平面垂直的性质定理:为作辅助线提供了理论依据αβαβmlβlαlm如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．为判定直线在平面内提供了理论依据αllAαAβlβα•例1.求证；如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。例1已知：α⊥β，P∈α，P∈a,a⊥β.求证：aα.βαaPbc证明：设α∩β=c，过点P在平面α内作直线b⊥c，根据上面的定理有b⊥β.因为经过一点只能有一条直线与平面β垂直，所以直线a应与b直线重合.所以aα.例2:如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的任意一点,求证:平面PAC⊥平面PBC.证明:设已知⊙O平面为α,PABC面面BCPA为圆的直径又ABBCACPAACAPACBC面PACPBC面面BCPBC面PABCACBC,PAPACACPAC面面BOCPA练习：1．选择题（1）不能肯定两个平面一定垂直的情况是（）A两个平面相交，所成二面角是直二面角.B一个平面经过另一个平面的一条垂线.C一个平面垂直于另一个平面内的一条直线.D平面内的直线a与平面内的直线b是垂直的.D（2）下列命题正确的是（）A平面内的一条直线和平面内的无数条直线垂直，则平面⊥平面.B过平面外一点P有且只有一个平面和平面垂直.C直线l∥平面，l⊥平面，则⊥D垂直于同一平面的两个平面平行.C32144、、课本P［总结提炼］☆已知面面垂直易找面的垂线，且在某一个平面内☆解题过程中应注意充分领悟、应用☆证明面面垂直要从寻找面的垂线入手☆理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义☆定义面面垂直是在建立在二面角的定义的基础上的