2018年高考理科数学第一轮复习教案16 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用1．三角函数的图象及其变换了解三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影响．2．y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质的综合应用会利用y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象与性质求参数的值或范围、确定函数解析式．知识点一五点法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，x≥0)，表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示x－φωπ2－φωπ－φω32π－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0易误提醒五点法作图中的五点是函数y＝Asin(ωx＋φ)图象上五个关键点，两个最值点，三个零点，在实际作图中，这是首先要考虑的五个点，但也不能只依赖这五个点，其它的特殊点也应考虑．必备方法由y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定第一个零点的方法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点－φω，0作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝3π2；“第五点”为ωx＋φ＝2π.[自测练习]1．用五点法作函数y＝sinx－π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、__________、________、________、________.答案：π6，02π3，17π6，05π3，－113π6，02．已知简谐运动f(x)＝2sinπ3x＋φ|φ|π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π3解析：由题意知f(0)＝2sinφ＝1，∴sinφ＝12，又|φ|π2，∴φ＝π6，又T＝6，故选A.答案：A知识点二y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换由y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A0，ω0)的图象(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移易误提醒(1)要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．(2)由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为φω，而不是|φ|.[自测练习]3．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象()A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移12个单位D．向右平移12个单位解析：∵y＝cos(2x＋1)＝cos2x＋12，∴只要将函数y＝cos2x的图象向左平移12个单位即可．答案：C4．把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位，得到的函数图象的解析式是()A．y＝cos2xB．y＝－sin2xC．y＝sin2x－π4D．y＝sin2x＋π4解析：由y＝sinx图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y＝sin2x，再向左平移π4个单位得y＝sin2x＋π4，即y＝cos2x.答案：A5．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，则φ＝________.解析：由图象知A＝1，T＝4712π－π3＝π，∴ω＝2，再由2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6.答案：－π6考点一五点法描图|已知函数f(x)＝cos2x－2sinxcosx－sin2x.(1)将f(x)化为y＝Acos(ωx＋φ)的形式；(2)用“五点法”在给定的坐标中，作出函数f(x)在[0，π]上的图象．[解](1)f(x)＝cos2x－sin2x－2sinxcosx＝cos2x－sin2x＝222cos2x－22sin2x＝2cos2x＋π4.(2)列表：2x＋π4π4π2π32π2π94πx0π838π58π78ππf(x)10－2021图象为：用“五点法”作图应注意四点(1)将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0)的形式．(2)求出周期T＝2πω.(3)求出振幅A.(4)列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点和区间端点．1．(2015·合肥模拟)设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)ω0，－π2φ0的最小正周期为π，且fπ4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．解：(1)最小正周期T＝2πω＝π，∴ω＝2.∵fπ4＝cos2×π4＋φ＝cosπ2＋φ＝－sinφ＝32，∴sinφ＝－32.∵－π2φ0，∴φ＝－π3.(2)由(1)得f(x)＝cos2x－π3，列表：x0π6512π23π1112ππ2x－π3－π30π2π32π53πf(x)1210－1012图象如图所示．考点二求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式|(1)(2016·青岛一模)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，若x1，x2∈－π6，π3，且f(x1)＝f(x2)，则f()x1＋x2＝()A．1B.12C.22D.32[解析]观察图象可知，A＝1，T＝π，∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)．将－π6，0代入上式得sin－π3＋φ＝0，由|φ|π2，得φ＝π3，则f(x)＝sin2x＋π3.函数图象的对称轴为x＝－π6＋π32＝π12.又x1，x2∈－π6，π3，且f(x1)＝f(x2)，∴x1＋x22＝π12，∴x1＋x2＝π6，∴f(x1＋x2)＝sin2×π6＋π3＝32.故选D.[答案]D(2)(2015·高考陕西卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sinπ6x＋φ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．[解析]由图象知周期T＝12，最低点的坐标为(9,2)，代入得π6×9＋φ＝2kπ＋3π2(k∈Z)，∴φ＝2kπ(k∈Z)，不妨取φ＝0，当x＝6＋3T4＝15时，y最大，列式得ymax＋22＝3sinπ6×6＋k，∴3sinπ6×15＋k＋22＝3sinπ6×6＋k，∴k＝5，∴ymax＋22＝k，ymax＝8.[答案]8确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0，ω0)的步骤和方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝2πT.(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝3π2；“第五点”时ωx＋φ＝2π.2．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(ω0,0≤φ2π)，则温度变化曲线的函数解析式为________．解析：由图象可知B＝20，A＝30－102＝10，T2＝14－6＝8，T＝16＝2πω，解得ω＝π8.将(6,10)代入y＝10sinπ8x＋φ＋20可得sin3π4＋φ＝－1，由0≤φ2π可得φ＝3π4，∴y＝10sinπ8x＋3π4＋20.答案：y＝10sinπ8x＋3π4＋20考点三y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换与性质应用|三角函数的图象变换与性质在高考中是每年的必考点之一，在选择题或解答题中出现，常考查基本的图象变换，稍难的题中是图象变换与三角函数的单调性、奇偶性、对称性相结合，成为小综合题．归纳起来常见的探究角度有：1．由y＝Asin(ω1x＋φ1)变换到y＝Asin(ω2x＋φ2)型．2．由y＝Acos(ω1x＋φ1)变换到y＝Asin(ω2x＋φ2)型．3．图象变换与性质相结合．探究一由y＝Asin(ω1x＋φ1)变换到y＝Asin(ω2x＋φ2)型1．(2015·高考山东卷)要得到函数y＝sin4x－π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象()A．向左平移π12个单位B．向右平移π12个单位C．向左平移π3个单位D．向右平移π3个单位解析：y＝sin4x－π3＝sin4x－π12，故要将函数y＝sin4x的图象向右平移π12个单位．故选B.答案：B探究二由y＝Acos(ω1x＋φ1)变换到y＝Asin(ω2x＋φ2)型2．为了得到y＝2sin3x＋π4的图象，可以将y＝2cos3x的图象()A．向右平移π12个单位B．向右平移π4个单位C．向左平移π12个单位D．向左平移π4个单位解析：∵y＝2sin3x＋π4＝2cos3x－π4，故将y＝2cos3x的图象向右平移π12个单位后可得到y＝2cos3x－π4的图象．答案：A探究三图象变换与性质结合3．(2015·长春二模)已知函数f(x)＝3sinxcosx＋12cos2x，若将其图象向右平移φ(φ0)个单位后所得的图象关于原点对称，则φ的最小值为()A.π6B.5π6C.π12D.5π12解析：由题意f(x)＝sin2x＋π6，将其图象向右平移φ(φ0)个单位后所得图象对应的解析式为g(x)＝sin2x－φ＋π6，则2φ－π6＝kπ(k∈Z)，即φ＝kπ2＋π12(k∈Z)，又φ0，所以φ的最小值为π12.故选C.答案：C4．已知函数f(x)＝3sinωx＋cosωx(ω0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象．关于函数g(x)，下列说法正确的是()A．在π4，π2上是增函数B．其图象关于直线x＝－π4对称C．函数g(x)是奇函数D．当x∈π6，2π3时，函数g(x)的值域是[－2,1]解析：f(x)＝3sinωx＋cosωx＝2sinωx＋π6，由题设知T2＝π2，∴T＝π，ω＝2πT＝2，∴f(x)＝2sin2x＋π6.把函数f(x)的图象沿x轴向左平移π6个单位，得到g(x)＝2sin2x＋π6＋π6＝2sin2x＋π2＝2cos2x的图象，g(x)是偶函数且在π4，π2上是减函数，其图象关于直线x＝－π4不对称，所以A，B，C错误．当x∈π6，2π3时，2x∈π3，4π3，则g(x)min＝2cosπ＝－2，g(x)max＝2cosπ3＝1，即函数g(x)的值域是[－2,1]，故选D.答案：D函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用问题的三种类型及解题策略：(1)图象变换与函数性质的综合问题．可根据两种图象变换的规则，也可先