2018年高考理科数学第一轮复习教案27 平面向量的数量积资料

第三节平面向量的数量积1．数量积的定义及长度、角度问题(1)理解数量积的含义及其物理意义．(2)了解向量数量积与向量投影的关系．(3)掌握数量积的坐标表达式及相关性质，并会进行数量积的运算．(4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判定两向量垂直．2．数量积的综合应用会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及其他的一些实际问题．知识点一平面向量的数量积1．两个向量的夹角(1)定义已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角．(2)范围向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.(3)向量垂直如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.2．平面向量数量积(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cosθ.规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝0.(2)a·b的几何意义a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．易误提醒1．两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．2．在向量数量积的几何意义中，投影是一个数量，不是向量．3．在实数运算中，若a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a，b却有|a·b|≤|a|·|b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a|·|b|·|cosθ|，而|cosθ|≤1.必记结论两向量a与b的夹角为锐角⇒cos〈a，b〉0且a与b不共线；两向量a与b的夹角为钝角⇒cos〈a，b〉0，且a与b不共线．[自测练习]1.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为()A.π6B.π4C.π3D.π2解析：向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b|a|·|b|＝12，∴θ＝π3.答案：C2．已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则(2a－b)·b＝()A．－1B．0C．1D．2解析：(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a|·|ba，b－|b|2＝2×1×1×cos60°－1＝0.答案：B3．已知|a|＝4，|b|＝3，a与b的夹角为120°，则b在a方向上的投影为()A．2B.32C．－2D．－32解析：b在a方向上的投影为|b|cos120°＝－32.故选D.答案：D知识点二数量积的性质及坐标运算1．向量数量积的性质(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉．(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)a·a＝|a|2，|a|＝a·a.(4)cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.2．数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a.(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(3)对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)结论几何表示坐标表示模|a|＝a·a|a|＝x21＋y21夹角cosθ＝a·b|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤x21＋y21x22＋y22易误提醒1．实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中，若a·b＝a·c(a≠0)，则不一定得到b＝c.2．实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．[自测练习]4．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝________.解析：∵m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，又(m＋n)⊥(m－n)，∴(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝0，从而λ＝－3.答案：－35．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝.解析：由a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝1×3×cos120°＝－32，得|5a－b|＝5a－b2＝25a2＋b2－10a·b＝25＋9－10×－32＝7.答案：7考点一平面向量数量积的运算|1．(2015·高考全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1D．2解析：a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.答案：C2．(2015·高考山东卷)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD→·CD→＝()A．－32a2B．－34a2C.34a2D.32a2解析：在菱形ABCD中，BA→＝CD→，BD→＝BA→＋BC→，所以BD→·CD→＝(BA→＋BC→)·CD→＝BA→·CD→＋BC→·CD→＝a2＋a×a×cos60°＝a2＋12a2＝32a2.答案：D3．如图，AB是半圆O的直径，C，D是弧AB的三等分点，M，N是线段AB的三等分点，若OA＝6，则MC→·ND→＝________.解析：法一：因为MC→·ND→＝(MO→＋OC→)·(NO→＋OD→)＝MO→·NO→＋MO→·OD→＋OC→·NO→＋OC→·OD→＝|MO→|·|NO→|cos180°＋|MO→|·|OD→|cos60°＋|OC→|·|NO→|·cos60°＋|OC→|·|OD→|·cos60°＝－4＋6＋6＋18＝26.法二：以点O为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则M(－2,0)，N(2,0)，C(－3,33)，D(3，33)，所以MC→＝(－1,33)，ND→＝(1,33)，MC→·ND→＝－1＋27＝26.答案：26向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.考点二平面向量数量积的性质应用|平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．归纳起来常见的命题探究角度有：1．平面向量的模．2．平面向量的夹角．3．平面向量的垂直．探究一平面向量的模1．(2015·太原一模)已知向量e1，e2是夹角为45°的两个单位向量，则|2e1－e2|＝()A.22B.12C．1D.2解析：由题意可得e1·e2＝22，所以|2e1－e2|＝2e1－e22＝2－22e1·e2＋1＝1.答案：C2．已知平面向量a＝(1，3)，|a－b|＝1，则|b|的取值范围是________.解析：设b＝(x，y)，则|a－b|＝x－12＋y－32＝1，即点(x，y)在圆(x－1)2＋(y－3)2＝1上，则|b|的几何意义是圆上点到原点的距离．又圆心到原点的距离为2，所以|b|的取值范围是[1,3]．答案：[1,3]探究二平面向量的夹角3．若向量a与b不共线，a·b≠0，且c＝a－a·aa·bb，则向量a与c的夹角为()A．0B.π6C.π3D.π2解析：∵c·a＝a－a·aa·bb·a＝a·a－a·aa·bb·a＝a·a－a·a＝0，∴c⊥a，即向量a与c的夹角为π2，故选D.答案：D4．(2015·苏州二模)设向量a＝(x,2)，b＝(2,1)，若a，b的夹角为锐角，则实数x的取值范围为________．解析：由题意可得，a·b＝2x＋20，且x－4≠0，故实数x的取值范围为(－1,4)∪(4，＋∞)．答案：(－1,4)∪(4，＋∞)探究三平面向量的垂直5．(2015·高考福建卷)设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb，若b⊥c，则实数k值等于()A．－32B．－53C.53D.32解析：因为c＝(1＋k,2＋k)，b·c＝0，所以1＋k＋2＋k＝0，解得k＝－32，故选A.答案：A6．(2015·高考重庆卷)若非零向量a，b满足|a|＝223|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A.π4B.π2C.3π4D．π解析：由条件，得(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－2b2－a·b＝0，即a·b＝3a2－2b2.又|a|＝223|b|，所以a·b＝3·223|b|2－2b2＝23b2，所以cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝23b2223b2＝22，所以〈a，b〉＝π4，故选A.答案：A平面向量数量积求解问题的三个策略(1)求两向量的夹角：cosθ＝a·b|a|·|b|，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝a·a.②|a±b|＝a±b2＝a2±2a·b＋b2.③若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.考点三平面向量与三角函数的综合应用|在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1，0)，|OC→|＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．(1)若x＝34π，设点D为线段OA上的动点，求|OC→＋OD→|的最小值；(2)若x∈0，π2，向量m＝BC→，n＝(1－cosx，sinx－2cosx)，求m·n的最小值及对应的x值．[解](1)设D(t,0)(0≤t≤1)，由题易知C－22，22，所以OC→＋OD→＝－22＋t，22，所以|OC→＋OD→|2＝12－2t＋t2＋12＝t2－2t＋1＝t－222＋12(0≤t≤1)，所以当t＝22时，|OC→＋OD→|最小，为22.(2)由题意得C(cosx，sinx)，m＝BC→＝(cosx＋1，sinx)，则m·n＝1－cos2x＋sin2x－2sinxcosx＝1－cos2x－sin2x＝1－2sin2x＋π4.因为x∈0，π2，所以π4≤2x＋π4≤5π4，所以当2x＋π4＝π2，即x＝π8时，sin2x＋π4取得最大值1，所以m·n的最小值为1－2，此时x＝π8.平面向量与三角函数的综合问题的两个解题策略(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．(2015·惠州二调)设向量a＝(3sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈0，π2.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．解：(1)由|a|2＝(3sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈0，π2，从而sinx＝12，所以x＝π6.(2)f(x)＝a·b＝3sinx·cosx＋sin2x＝32sin2x－12cos2x＋12＝sin2x－π6＋12，当x＝π3∈0，π2时，sin2x－π6取最大值1.所以f(x)的最大值为32.8.忽视向量夹角范围致误【典例】设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．[解]