2018年高考理科数学第一轮复习教案29 数列的概念与简单表示法

第一节数列的概念与简单表示法数列的概念及表示方法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．(2)了解数列是自变量为正整数的一类函数．知识点一数列的概念1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫作首项)．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数有穷数项数有限列无穷数列项数无限按项与项间的大小关系递增数列an＋1≥an其中n∈N＋递减数列an＋1≤an常数列an＋1＝an,摇摆数列从第2项起有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项易误提醒1．由前n项写通项、数列的通项并不唯一．2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．[自测练习]1．数列{an}：1，－58，715，－924，…，的一个通项公式是()A．an＝(－1)n＋12n－1n2＋n(n∈N＋)B．an＝(－1)n－12n＋1n3＋3n(n∈N＋)C．an＝(－1)n＋12n－1n2＋2n(n∈N＋)D．an＝(－1)n－12n＋1n2＋2n(n∈N＋)解析：观察数列{an}各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，故选D.答案：D2．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3()A．不是数列{an}中的项B．只是数列{an}中的第2项C．只是数列{an}中的第6项D．是数列{an}中的第2项或第6项解析：令an＝3，即n2－8n＋15＝3，解得n＝2或6，故3是数列{an}中的第2项或第6项．答案：D知识点二数列与函数关系及递推公式1．数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．2．数列的递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．必记结论an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.[自测练习]3．在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为()A．30B．31C．32D．33解析：a5＝2a4＋1＝2(2a3＋1)＋1＝22a3＋2＋1＝23a2＋22＋2＋1＝24a1＋23＋22＋2＋1＝31.答案：B4．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－3，则数列{an}的通项公式是________．解析：当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－2n－1＝2n－1.故an＝－1，n＝1，2n－1，n≥2.答案：an＝－1，n＝12n－1，n≥2考点一由数列的前几项求数列的通项公式|1．下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是()A．an＝1B．an＝－1n＋12C．an＝2－sinnπ2D．an＝－1n－1＋32解析：由an＝2－sinnπ2可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….答案：C2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；(2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)；(4)9,99,999,9999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式an＝2(n＋1)(n∈N＋)．(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×1nn＋1.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式an＝a，n为奇数，b，n为偶数.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1，1000－1,10000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1.用观察法求数列的通项公式的两个技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．(2)对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．考点二由an与Sn的关系求通项an|已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.[解](1)a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.(2)a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2·3n－1，n≥2.已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N＋，求{an}的通项公式．解：由a1＝S1＝16(a1＋1)(a1＋2)，解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S11，因此a1＝2.又由an＋1＝Sn＋1－Sn＝16(an＋1＋1)(an＋1＋2)－16(an＋1)(an＋2)，得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an.因为an0，故an＋1＝－an不成立，舍去．因此an＋1－an－3＝0.即an＋1－an＝3，从而{an}是以公差为3，首项为2的等差数列，故{an}的通项公式为an＝3n－1.考点三由递推关系式求数列的通项公式|递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．归纳起来常见的探究角度有：1．形如an＋1＝anf(n)，求an.2．形如an＋1＝an＋f(n)，求an.3．形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an.4．形如an＋1＝AanBan＋C(A，B，C为常数)，求an.探究一形如an＋1＝anf(n)，求an.1．在数列{an}中，a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)．解：因为an＝n－1nan－1(n≥2)，所以an－1＝n－2n－1an－2，…，a2＝12a1.由累乘法可得an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n(n≥2)．又a1＝1符合上式，∴an＝1n.探究二形如an＋1－an＝f(n)，求an.2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2.解：因为an＋1－an＝3n＋2，所以an－an－1＝3n－1(n≥2)，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n3n＋12(n≥2)．当n＝1时，a1＝2＝12×(3×1＋1)，符合上式，所以an＝32n2＋n2.探究三形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)求an.3．在数列{an}中a1＝1，an＋1＝3an＋2.解：因为an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以an＋1＋1an＋1＝3，所以数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3.又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1.探究四形如an＋1＝AanBan＋C(A，B，C为常数)，求an.4．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2anan＋2，求数列{an}的通项公式．解：∵an＋1＝2anan＋2，a1＝1，∴an≠0，∴1an＋1＝1an＋12，即1an＋1－1an＝12，又a1＝1，则1a1＝1，∴1an是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1an＝1a1＋(n－1)×12＝n2＋12，∴an＝2n＋1(n∈N*)．已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解．1．形如an＝an－1＋f(n)(n≥2，n∈N*)时，用累加法求解．2．形如anan－1＝f(n)(an－1≠0，n≥2，n∈N*)时，用累乘法求解．3．形如an＝an－1＋m(n≥2，n∈N*)时，构造等差数列求解；形如an＝xan－1＋y(n≥2，n∈N*)时，构造等比数列求解．16.函数思想在数列中的应用【典例】已知数列{an}．(1)若an＝n2－5n＋4.①数列中有多少项是负数？②n为何值时，an有最小值？并求出最小值．(2)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1an成立．求实数k的取值范围．[思路点拨](1)求使an0的n值；从二次函数看an的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N*上单调递增，但自变量不连续．从二次函数的对称轴研究单调性．[解](1)①由n2－5n＋40，解得1n4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a2，a3.②∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94，∴对称轴方程为n＝52.又n∈N*，∴n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2.(2)由an＋1an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，所以(n＋1)2＋k(n＋1)＋4n2＋kn＋4，即k－1－2n，又n∈N*，所以k－3.[方法点评]1．本题给出的数列通项公式可以看作是一个定义在正整数集上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k的取值范围，使问题得到解决．2．本题易错答案为k－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数．3．在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取．[跟踪练习]已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)1011n，试问该数列中有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．解：法一：∵an＋1－an＝(n＋2)1011n＋1－(n＋1)1011n＝1011n×9－n11，当n9时，an＋1－an0，即an＋1an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n9时，an＋1－an0，即an＋1an，∴该数列中有最大项，为第9、10项，且a9＝a10＝10×10119.法二：根据题意，令an－1≤an，an≥an＋1(n≥2)，即n×1011n－1≤n＋11011n，n＋11011n≥n＋21011n＋1，解得9≤n≤10.又n∈N*，∴n＝9或n＝10，∴该数列中有最大项，为第9、10项，且a9＝a10＝10×10119.A组考点能力演练1．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2an＋1＋1，则a13＝()A．143B．156C．168D．195解析：由an＋1＝an＋2an＋1＋1得an＋1＋1＝(an＋1＋1)2，所以an＋1＋1－an＋1＝1，又a1＝0，则an＋1＝n，an＝n2－1，则a13＝132－1＝168.答案：C2．(2015·杭州质检)已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an－33an＋1(n∈N*)，则a20＝()A．0B．－3C.3D.32解析：本题由数列递推关系式，推得数列{an}是周期变化的，找出规律，再求a20.由a1＝0，an＋1＝an－33an＋1(n∈N*)，得a2＝－3，a3＝3，a4＝0，