2018年高考理科数学第一轮复习教案33 数列的综合应用

第五节数列的综合应用数列的综合应用能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题．知识点数列的实际应用问题数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．必备方法解答数列应用题的步骤：(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．具体解题步骤用框图表示如下：[自测练习]1．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要()A．6秒钟B．7秒钟C．8秒钟D．9秒钟解析：设至少需要n秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，∴1－2n1－2≥100，∴n≥7.答案：B2．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为2π3，公差为π36，则这个多边形的边数为________．解析：由于凸n边形的内角和为(n－2)π，故2π3n＋nn－12×π36＝(n－2)π.化简得n2－25n＋144＝0.解得n＝9或n＝16(舍去)．答案：93．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n项和Sn＝a11－qn1－q＝21－2n1－2＝2n＋1－2.由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n＋1≥7，即n≥6.答案：6考点一等差、等比数列的综合应用|在数列{an}中，a1＝2，a2＝12，a3＝54，数列{an＋1－3an}是等比数列．(1)求证：数列an3n－1是等差数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn.[解](1)证明：∵a1＝2，a2＝12，a3＝54，∴a2－3a1＝6，a3－3a2＝18.又∵数列{an＋1－3an}是等比数列，∴an＋1－3an＝6×3n－1＝2×3n，∴an＋13n－an3n－1＝2，∴数列an3n－1是等差数列．(2)由(1)知数列an3n－1是等差数列，∴an3n－1＝a130＋(n－1)×2＝2n，∴an＝2n×3n－1.∵Sn＝2×1×30＋2×2×31＋…＋2n×3n－1，∴3Sn＝2×1×3＋2×2×32＋…＋2n×3n.∴Sn－3Sn＝2×1×30＋2×1×3＋…＋2×1×3n－1－2n×3n＝2×1－3n1－3－2n×3n＝3n－1－2n×3n，∴Sn＝n－12×3n＋12.等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．1．(2016·贵州七校联考)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，a1＝b1＝1，且b3S3＝36，b2S2＝8(n∈N*)．(1)求an和bn；(2)若anan＋1，求数列1anan＋1的前n项和Tn.解：(1)由题意得q23＋3d＝36，q2＋d＝8，解得d＝2q＝2或d＝－23，q＝6，∴an＝2n－1，bn＝2n－1，或an＝135－2n，bn＝6n－1.(2)若anan＋1，由(1)知an＝2n－1，∴1anan＋1＝12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1，∴Tn＝121－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝n2n＋1.考点二数列的实际应用问题|为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．(1)求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；(2)若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值．[解](1)设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量．依题意，得{an}是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列，{bn}是首项为400，公差为a的等差数列．所以{an}的前n项和Sn＝128×1－32n1－32＝25632n－1，{bn}的前n项和Tn＝400n＋nn－12a.所以经过n年，该市被更换的公交车总数为S(n)＝Sn＋Tn＝25632n－1＋400n＋nn－12a.(2)若计划7年内完成全部更换，则S(7)≥10000，所以256327－1＋400×7＋7×62a≥10000，即21a≥3082，所以a≥1461621.又a∈N*，所以a的最小值为147.解决数列应用题一个注意点解决数列应用问题，要明确问题属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，要求an还是Sn，特别是要弄清项数．2．某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污．现以降低SO2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年SO2的年排放量约为9.3万吨．(1)按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO2约多少万吨？(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度．在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p，为使2020年这一年SO2的年排放量控制在6万吨以内，求p的取值范围．参考数据：823≈0.9505，923≈0.9559解：(1)设“十二五”期间，该城市共排放SO2约y万吨，依题意，2011年至2015年SO2的年排放量构成首项为9.3，公差为－0.3的等差数列，所以y＝5×9.3＋5×5－12×(－0.3)＝43.5(万吨)．所以按原计划“十二五”期间该城市共排放SO2约43.5万吨．(2)由已知得，2012年的SO2年排放量为9.3－0.3＝9(万吨)，所以2012年至2020年SO2的年排放量构成首项为9，公比为1－p的等比数列．由题意得9×(1－p)86，由于0p1，所以1－p823，所以1－p0.9505，解得p4.95%.所以SO2的年排放量每年减少的百分率p的取值范围为(4.95%,1)．考点三数列与不等式的综合问题|(2015·高考浙江卷)已知数列{an}满足a1＝12且an＋1＝an－a2n(n∈N*)．(1)证明：1≤anan＋1≤2(n∈N*)；(2)设数列{a2n}的前n项和为Sn，证明：12n＋2≤Snn≤12n＋1(n∈N*)．[证明](1)由题意得an＋1－an＝－a2n≤0，即an＋1≤an，故an≤12.由an＝(1－an－1)an－1得an＝(1－an－1)(1－an－2)…(1－a1)a10.由0an≤12得anan＋1＝anan－a2n＝11－an∈[1,2]，即1≤anan＋1≤2.(2)由题意得a2n＝an－an＋1，所以Sn＝a1－an＋1.①由1an＋1－1an＝anan＋1和1≤anan＋1≤2得1≤1an＋1－1an≤2，所以n≤1an＋1－1a1≤2n，因此12n＋1≤an＋1≤1n＋2(n∈N*)．②由①②得12n＋2≤Snn≤12n＋1(n∈N*)．数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法等．3．(2016·云南一检)在数列{an}中，a1＝35，an＋1＝2－1an，设bn＝1an－1，数列{bn}的前n项和是Sn.(1)证明数列{bn}是等差数列，并求Sn；(2)比较an与Sn＋7的大小．解：(1)∵bn＝1an－1，an＋1＝2－1an，∴bn＋1＝1an＋1－1＝1an－1＋1＝bn＋1，∴bn＋1－bn＝1，∴数列{bn}是公差为1的等差数列．由a1＝35，bn＝1an－1得b1＝－52，∴Sn＝－5n2＋nn－12＝n22－3n.(2)由(1)知：bn＝－52＋n－1＝n－72.由bn＝1an－1得an＝1＋1bn＝1＋1n－72.∴an－Sn－7＝－n22＋3n－6＋1n－72.∵当n≥4时，y＝－n22＋3n－6是减函数，y＝1n－72也是减函数，∴当n≥4时，an－Sn－7≤a4－S4－7＝0.又∵a1－S1－7＝－39100，a2－S2－7＝－830，a3－S3－7＝－720，∴∀n∈N*，an－Sn－7≤0，∴an≤Sn＋7.6.数列的综合应用的答题模板【典例】(12分)(2015·高考四川卷)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列1an的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|11000成立的n的最小值．[思路点拨]由Sn＝2an－a1，得a2＝2a1，a3＝4a1，再通过a1，a2＋1，a3成等差数列确定首项a1＝2是解决(1)的切入点；由(1)知1an是首项为12，公比为12的等比数列，所以Tn＝1－12n，然后解不等式即可．[规范解答](1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．所以a＝2.从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.(2分)又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)．所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．故an＝2n.(6分)(2)由(1)得1an＝12n.所以Tn＝12＋122＋…＋12n＝121－12n1－12＝1－12n.(8分)由|Tn－1|11000，得1－12n－111000，即2n1000.因为29＝51210001024＝210，所以n≥10.(10分)于是，使|Tn－1|11000成立的n的最小值为10.(12分)[模板形成][跟踪练习](2015·湖北七市联考)数列{an}是公比为12的等比数列，且1－a2是a1与1＋a3的等比中项，前n项和为Sn；数列{bn}是等差数列，b1＝8，其前n项和Tn满足Tn＝nλ·bn＋1(λ为常数，且λ≠1)．(1)求数列{an}的通项公式及λ的值；(2)比较1T1＋1T2＋1T3＋…＋1Tn与12Sn的大小．解：(1)由题意得(1－a2)2＝a1(a3＋1)，即1－12a12＝a114a1＋1，解得a1＝12，∴an＝12n.设{bn}的公差为d，又T1＝λb2，T2＝2λb3，即