理论力学(郝桐生)第三版第4单元课件

TheoryofMechanics理论力学第四章空间力系和重心2第四章空间力系和重心第1节空间汇交力系第2节力对点的矩和力对轴的矩第3节空间力偶第4节空间任意力系向一点的简化主矢和主矩第5节空间力系的平衡方程第6节重心3第1节空间汇交力系一、力在空间直角坐标轴上的投影1.直接投影法Fx=FcosFy=FcosFz=Fcoscos2+cos2+cos2=1参见动画：空间力在正交轴上的投影4先将力投影到对应的坐标面上，然后再投影到相应的坐标轴上，这种方法称为二次投影法（间接投影法）。2.二次投影法Fx=FsincosFy=FsinsinFz=FcosFxy=Fsin参见动画：二次投影法5三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面ABED上作用有一力F，力F与OAB平面夹角为30º，求力F在三个坐标轴上的投影。例题例题1空间力系参见动画：例题1(1)6利用二次投影法，先将力F投影到Oxy平面上，然后再分别向x，y，z轴投影。解：空间力系例题例题1Fxy=Fcos30oFx=-Fcos30ocos45oFy=Fcos30osin45oFz=Fsin30o参见动画：例题1(2)7例题2例题如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力Fn的作用。已知斜齿轮的啮合角(螺旋角)β和压力角α，试求力Fn沿x，y和z轴的分力。空间力系8例题2例题运动演示空间力系参见动画：圆柱斜齿轮受力分析9例题2例题将力Fn向z轴和Oxy平面投影cossinnnFFFFxyz解：空间力系10例题2例题沿各轴的分力为将力Fxy向x，y轴投影coscoscossincossinnnFFFFFFxyyxyxkFjFiF)sin()coscos()sincos(nnnFFFzyxcossinnnFFFFxyz空间力系11二、空间汇交力系的合力与平衡条件空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。1、空间汇交力系的合力niinRFFFFFF1321kFjFiFFziyixiR合力FR的大小为:222)()()(ziyixiRFFFF合力FR的方向余弦为:RziRyiRxiFFFFFFcos,cos,cos12例题3例题在刚体上作用着四个汇交力，它们在坐标轴上的投影如下表所示，试求这四个力的合力的大小和方向。kN6kN2kN1kN4kN3,kN30kN10kN5kN15kN10,kN5kN2kN0kN2kN1zyxFFF由表得：解：F1F2F3F4单位Fx1202kNFy1015－510kNFz341－2kN空间力系13例题3例题kN6,kN30,kN5zyxFFFkN31kN6305222RF316,cos3130,cos315,cosRRRkFjFiF8.78,6.14,7.83,RRRkFjFiF所以合力的大小为合力的方向余弦为合力FR与x，y，z轴间夹角空间力系14000zyxFFF空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。2、空间汇交力系的平衡条件即01niiRFF空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系的合力等于零。称为平衡方程空间汇交力系的平衡方程15例题4例题如图所示，用起重机吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的C点和D点，连线CD平行于x轴。已知CE=EB=DE,角α=30o，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF=30o,重物G=10kN。如不计起重杆的重量,试求起重杆所受的力和绳子的拉力。空间力系参见动画：例题416例题4例题1.取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。解：xzy30oαABDGCEFzy30oαABGEFF1FA其侧视图为空间力系xzy30oαABDGCEFF1F2FA17例题4例题3.联立求解。030cos30sin45cos30sin45cos,0030cos45cos30cos45cos30sin,0045sin45sin,0212121GFFFFFFFFFFFAzAyxkN66.8kN3.5421AFFF2.列平衡方程。空间力系xzy30oαABDGCEFF1F2FAzy30oαABGEFF1FA18第2节力对点的矩和力对轴的矩一、力对点的矩的矢量表示OABOAdFFM2)(矢量的模：矢量的方位：和力矩作用面的法线方向相同矢量的指向：由右手螺旋法则确定力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。力矩矢FrFMO)(参见动画：空间力对点的矩19kzjyixr由于zyxOFFFzyxkjiFrFM)(xyzOzxyOyzxOyFxFFMxFzFFMzFyFFM)]([)]([)]([kFjFiFFzyxkyFxFjxFzFizFyFxyzxyz)()()(力矩矢不可任意移动为定位矢量。20二、力对轴的矩力对轴之矩：是使物体绕轴转动效应的度量。21动画力对轴的矩OABxyxyOzAdFFMFM2)()(参见动画：力对轴的矩(1)22力对轴的矩力对轴的矩是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴交点的矩。其正负号如下确定：从z轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴逆时针转动，则取正号，反之为负。动画右手螺旋法则：拇指指向与z轴一致为正，反之为负。1、定义参见动画：力对轴的矩(2)23力对轴的矩2、力对轴的矩等于零的情形：•力和轴平行；•力的作用线与轴相交。动画当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。参见动画：力对轴的矩等于零243、力对轴的矩之解析表达式xyzzxyyzxyFxFMxFzFMzFyFMFFF如力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx，Fy，Fz，力作用点A的坐标为x，y，z，则))()()(yzxzxyOzMMMMFFFF(xyzyFxFMF参见动画：力对轴的矩解析表达式25三、力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对于该轴的矩。)()]([)()]([)()]([FMFMFMFMFMFMzzOyyOxxOkFMjFMiFMFrFMzOyOxOO)]([)]([)]([)(kFMjFMiFMzyx)()()(又由于所以力对点O的矩为：222))(())(())(()(FMFMFMFMzyxO力对点之矩的计算可以先计算力对轴之矩，然后自用上式来求力对点之矩。)()(cos,)()(cos,)()(cosFMFMFMFMFMFMOzOyOx26例题5空间力系例题手柄ABCE在平面Axy内,在D处作用一个力F，如图所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为α。如果CD=b，杆BC平行于x轴,杆CE平行于y轴，AB和BC的长度都等于l。试求力F对x，y和z三轴的矩。参见动画：例题527例题5应用合力矩定理求解。sincoscosblFCDABFMMFlBCFMMblFCDABFMMxxzzzZyyzZxxFFFFFF力F沿坐标轴的投影分别为：FFFFFzyxcos0sin由于力与轴平行或相交时力对该轴的矩为零，则有解：空间力系方法1例题28例题5应用力对轴的矩之解析表达式求解。因为力在坐标轴上的投影分别为：0,,zblylx力作用点D的坐标为：空间力系方法2例题cos,0,sinFFFFFzyxsinsin0coscos0cos0cosblFFblyFxFMFlFlxFzFMblFFblzFyFMxyzzxyyzxFFF则29在轴AB的手柄BC的一端作用着力F，试求这力对轴AB的矩。已知AB=20cm，BC=18cm，F=50N，且α=45°，β=60°。xzyβαABCFx1y1例题空间力系例题630例题6xzyβαABCFFx1y1解：力F对AB的矩等于这力在平面Bxy上的投影F'对点B的矩，即mN18.3FFBABMMcoscosBCF例题空间力系31第3节空间力偶1212FFFF1、力偶矩以矢量表示力偶矩矢空间力偶的三要素（1）大小：力与力偶臂的乘积；（2）方向：转动方向；（3）作用面：力偶作用面。32力偶矩矢FrMBA33作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，则它们彼此等效。'3F3Fxzy'3F3F•空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上而不改变力偶对刚体的作用效果；•可以同时改变力与力偶臂的大小或将在其作用面内任意移转，只要力偶矩矢的大小、方向不变，其作用效果不变。力偶矩矢是空间力偶系的唯一度量。二、空间力偶等效定理34任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。niinMMMMMM1321;222zyxMMMM三、空间力偶系的合成与平衡条件即：MMMMMMzyxcos,cos,cosniizzniiyyniixxMMMMMM111;;合力偶矩矢的大小和方向余弦1、空间力偶系的合成35例题7例题工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为80N·m。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。空间基本力系36例题7例题将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点。mN1.19345cos45cosmN80mN1.19345cos45cos5412543MMMMMMMMMMzyx可得mN6.284222zyxMMMM所以合力偶矩矢的大小6786.0cos2811.0,cos6786.0,coskMjMiM,合力偶矩矢的方向余弦解：A空间基本力系参见动画：空间力偶系的合成370iMM01nixM2、空间力偶系的平衡条件空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零。即：01niyM01nizM空间力偶系的平衡方程空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系中的所有力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。38图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶（F1，F1）的矩M1=20N·m；力偶（F2，F2）的矩M2=20N·m；力偶（F3，F3）的矩M3=20N·m。试求合力偶矩矢M。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。例题11例题xzyOF1F2F31F3F2F空间基本力系390321xxxxMMMMmN2.11321yyyyMMMMmN2.41321zzzzMMMM1.画出各力偶矩矢。例题11例题2.合力偶矩矢M的投影。解：空间基本力系参见动画：例题11403.合力偶矩矢M的大小和方向。mN7.42222zyxMMMM90,,0,cosiMiMMMx8.74,,262.0,cosjMjMMMy