2016届高考数学(人教理)总复习课件：第5章-第2节 等差数列及其前n项和

菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练第二节等差数列及其前n项和菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考纲要求1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式.3.了解等差数列与一次函数的关系.4.等差数列的基本量运算.5.等差数列的性质应用．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[基础真题体验]考查角度[等差数列的性质]1．(2014·重庆高考)在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝()A．5B．8C．10D．14菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解析】法一：设等差数列的公差为d，则a3＋a5＝2a1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，a7＝a1＋6d＝2＋6＝8.法二：由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.【答案】B菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练2．(2014·课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()A．n(n＋1)B．n(n－1)C.nn＋12D.nn－12【解析】由a2，a4，a8成等比数列，得a24＝a2a8，即(a1＋6)2＝(a1＋2)(a1＋14)，∴a1＝2.∴Sn＝2n＋nn－12×2＝2n＋n2－n＝n(n＋1)．【答案】A菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考查角度[等差数列的基本量运算]3．(2013·课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()A．3B．4C．5D．6菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解析】∵{an}是等差数列，Sm－1＝－2，Sm＝0，∴am＝Sm－Sm－1＝2.∵Sm＋1＝3，∴am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴d＝am＋1－am＝1.又Sm＝ma1＋am2＝ma1＋22＝0，∴a1＝－2，∴am＝－2＋(m－1)·1＝2，∴m＝5.【答案】C菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练4．(2012·北京高考)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝12，S2＝a3，则a2＝________，Sn＝________.【解析】设{an}的公差为d，由S2＝a3知，a1＋a2＝a3，即2a1＋d＝a1＋2d，又a1＝12，所以d＝12，故a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋12n(n－1)d＝12n＋12(n2－n)×12＝14n2＋14n.【答案】114n2＋14n菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[命题规律预测]命题规律从近几年高考题看，等差数列在每年的高考中都要考查，主要命题点围绕等差数列的通项公式，前n项和公式及其它们的性质，题型全面，难度中低档．考向预测预测2016年高考仍以等差数列知识为命题热点，重点考查等差数列的性质，通项公式及前n项和公式，预测将与等比数列知识，函数知识综合命题，复习时要多加留意.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考向一等差数列的判定与证明[典例剖析]【例1】(2014·大纲全国卷)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.(1)设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式．【思路点拨】(1)用等差数列的定义证明．(2)用累加法求解．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解】(1)由an＋2＝2an＋1－an＋2得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(2)由(1)得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.于是k＝1n(ak＋1－ak)＝k＝1n(2k－1)，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练等差数列的判定方法有以下四种：(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)或an－an－1＝d(n∈N*，n≥2)⇔{an}为等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列．(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练(4)前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列{an}是等差数列．但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[对点练习]在数列{an}中，a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2，且n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)设bn＝an＋32n(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解】(1)∵a1＝－3，an＝2an－1＋2n＋3(n≥2)．∴a2＝2a1＋4＋3＝1.a3＝2a2＋23＋3＝13.(2)证明：对于任意n∈N*，∵bn＋1－bn＝an＋1＋32n＋1－an＋32n＝12n＋1[(an＋1－2an)－3]＝12n＋1[(2n＋1＋3)－3]＝1，∴数列{bn}是首项为a1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考向二等差数列的基本运算[典例剖析]【例2】(2014·浙江高考)已知等差数列{an}的公差d＞0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.(1)求d及Sn；(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.【思路点拨】由等差数列的前n项和公式求解；结合已知条件求解．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解】(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.因为d＞0，所以d＝2，Sn＝n2(n∈N*)．(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.由m，k∈N*知2m＋k－1＞k＋1＞1，故2m＋k－1＝13，k＋1＝5，所以m＝5，k＝4.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练1．等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练2．等差数列前n项和公式的应用方法根据不同的已知条件选用两个求和公式，如已知首项和公差，则使用公式Sn＝na1＋nn－12d，若已知通项公式，则使用公式Sn＝na1＋an2.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练[对点练习](2013·四川高考)在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解】设该数列的公差为d，前n项和为Sn.由已知可得．2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)，所以a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0，解得a1＝4，d＝0或a1＝1，d＝3，即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以数列的前n项和Sn＝4n或Sn＝3n2－n2.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练考向三等差数列的性质及应用【命题视角】通过近3年的高考试题分析，对等差数列性质的考查几乎每年都有涉及，有时以选择题、填空题出现，难度中等偏下；有时在解答题中出现，常与求通项an及前n项和Sn结合命题，题目难度中等．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练角度一：项的性质及应用【例3－1】(1)若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A．13B．12C．11D．10(2)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则a5＋b5＝________.【思路点拨】利用等差数列的性质求解．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解析】(1)因为a1＋a2＋a3＝34，an－2＋an－1＋an＝146，所以a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，又因为a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2，所以3(a1＋an)＝180，从而a1＋an＝60，所以Sn＝na1＋an2＝n·602＝390，即n＝13.(2)设两等差数列的和数列{an＋bn}＝{cn}，由题意{cn}仍为等差数列且c1＝7，c3＝21，∴c5＝2c3－c1＝35.【答案】(1)A(2)35菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练掌握等差数列项的性质及其使用条件，认真分析项序、序号、项的值的特征，以寻找解题突破口．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练角度二：和的性质及应用【例3－2】(1)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d.(2)等差数列{an}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，试求前3m项的和．【思路点拨】利用等差数列前n项和的性质求解．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练【解】(1)由已知条件，得S奇＋S偶＝354，S偶∶S奇＝32∶27，解得S偶＝192，S奇＝162.又S偶－S奇＝6d，所以d＝192－1626＝5.(2)记数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列前n项和的性质知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，则2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)，又Sm＝30，S2m＝100，所以S2m－Sm＝100－30＝70，所以S3m－S2m＝2(S2m－Sm)－Sm＝110，所以S3m＝110＋100＝210.菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核心突破提素养满分指导课时提升练理解等差数列和的性质的特点，分清奇、偶项的和，“片段和”的概念，准确求解．菜单研动向考纲考向高三总复习·数学(理)演实战沙场点兵切脉搏核