专题训练(一) 全等三角形的性质和判定的综合

专题训练(一)全等三角形的性质和判定的综合八年级上册数学（人教版）一、利用全等三角形解决与线段有关的证明与计算问题1．如图，AB＝CD，BD＝AC，AB∥CD，求证：AB⊥BC.解：∵AB＝CD，AC＝BD，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB(SSS)，∴∠ABC＝∠DCB，又∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∴AB⊥BC2．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，且AE平分∠BAC，AF＝AB，求证：EF∥BC.解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE，在△ABE和△AFE中，AE＝AE，∠BAE＝∠FAE，AB＝AF，∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE＝∠AFE，又∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠BAC＝90°，又∵BD⊥AC，∴∠BAC＋∠ABE＝90°，∴∠C＝∠ABE，∴∠C＝∠AFE，∴EF∥BC3．如图，AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.解：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，∴∠ADB＝∠AFB＝90°，∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)，∴DB＝FB，∵AC＝AE，AD＝AF，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，∴DC＝FE，∴DB－DC＝FB－FE，即BC＝BE4．如图，已知AD∥BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分∠DAB，∠CBA，BE的延长线交AD的延长线于点F.(1)求证：△ABE≌△AFE；(2)求证：AD＋BC＝AB.解：(1)∵AE平分∠DAB，∴∠BAE＝∠FAE，∵BE平分∠CBA，∴∠ABE＝∠CBE，∵AD∥BC，∴∠F＝∠CBE，∴∠ABE＝∠F，在△ABE和△AFE中，∵∠ABE＝∠F，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(AAS)(2)∵△ABE≌△AFE，∴BE＝FE，AB＝AF，在△BCE和△FDE中，∵∠CBE＝∠F，BE＝FE，∠BEC＝∠FED，∴△BCE≌△FDE(ASA)，∴BC＝FD，∵AD＋DF＝AF，AB＝AF，∴AD＋BC＝AB5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点D是AC的中点，将一块锐角是45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与点A，D重合，连接BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量关系及位置关系，并证明你的猜想．解：垂直且相等．证明：∵∠BAC＝90°，∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝135°，∠EDC＝135°，∴∠EAB＝∠EDC，∵点D是AC的中点，∴DC＝12AC，∵AC＝2AB，∴AB＝12AC，∴DC＝AB，又∵AE＝ED，∴△ABE≌△DCE(SAS)，∴BE＝EC，∠AEB＝∠DEC，∵∠AEB＋∠BED＝90°，∴∠BED＋∠DEC＝90°，∴∠BEC＝90°，即BE与EC垂直且相等6．如图，在△ABC中，D为BC的中点．(1)求证：AB＋AC＞2AD；(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．解：(1)延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，在△ACD和△EBD中，AD＝ED，∠ADC＝∠BDE，CD＝BD，∴△ACD≌△EBD(SAS)，∴BE＝AC，∵AB＋BE＞AE，∴AB＋AC＞2AD(2)由三角形三边关系得AB－BE＜2AD＜AB＋BE，∴5－3＜2AD＜5＋3，∴1＜AD＜4二、利用全等三角形解决与角有关的证明与计算问题7．如图，M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P.(1)求证：△ABM≌△BCN；(2)求∠APN的度数．解：(1)∵正五边形ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，又∵BM＝CN，∴△ABM≌△BCN(SAS)(2)∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM＝∠CBN，∵∠BAM＋∠ABP＝∠APN，∴∠CBN＋∠ABP＝∠APN＝∠ABC＝（5－2）×180°5＝108°，即∠APN的度数为108°8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，在BC上截取BF＝BA，作DF⊥BC交AC于点D，AE⊥BC于点E，交BD于点G，连接GF，求证：DG平分∠AGF.解：∵∠BAC＝90°，DF⊥BC，∴在Rt△ABD和Rt△FBD中，AB＝BF，BD＝BD，∴Rt△ABD≌Rt△FBD(HL)，∴∠ADG＝∠GDF，AD＝DF，又∵DG＝DG，∴△ADG≌△FDG(SAS)，∴∠AGD＝∠FGD，即DG平分∠AGF三、动态中的全等三角形9．(2017·铜仁模拟)在正方形ABCD中，P是CD上一动点，连接PA，分别过点B，D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别为E，F.(1)如图①，线段BE，DF，EF有怎样的数量关系？并说明理由；(2)如图②，若P点在DC的延长线上，那么BE，DF，EF又有怎样的数量关系；(只写结论)(3)如图③，若P点在CD的延长线上，那么BE，DF，EF又有怎样的数量关系．(只写结论)解：(1)图①EF＝BE－DF，易证△ABE≌△DAF(AAS)，∴AE＝DF，BE＝AF，∴EF＝AF－AE，∴EF＝BE－DF(2)图②EF＋BE＝DF(3)图③BE＋DF＝EF10．如图①，已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE，AC＝BC，CD＝CE，M，N分别为AE，BD的中点，连接CM，CN.(1)判断CM与CN的位置关系和数量关系；(2)如图②，若△CDE绕点C旋转任意角度，其他条件不变，则(1)的结论是否仍成立？请说明理由．解：(1)CM＝CN，CM⊥CN.证明：由SAS证△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，AE＝BD，∴AM＝BN，再由SAS证△ACM≌△BCN，∴∠ACM＝∠BCN，CM＝CN，可证∠MCN＝90°，即CM⊥CN(2)结论仍成立，证法同上11．如图①，在平面直角坐标系中，将直角三角形的顶点放在点P(4，4)处，两直角边与坐标轴分别交于点A，B.(1)求OA＋OB的值；(2)如图②，将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴分别交于点A，B，求OA－OB的值．解：(1)作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，可证∠APM＝∠BPN，从而由AAS证△PAM≌△PBN，∴AM＝BN，∵OM＝ON＝4，∴OA＋OB＝OM＋ON＝8(2)作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，可证∠APM＝∠BPN，从而由AAS证△PAM≌△PBN，∴AM＝BN，∵OM＝ON＝4，∴OA－OB＝OM＋ON＝8