专题训练(十)角的计算

专题训练（十）角的计算类型一：直接计算1．如图，∠AOC＝∠BOD，∠AOD＝120°，∠BOC＝70°，求∠AOB的度数．解：∵∠AOB＝AOC－∠BOC，∠DOC＝∠BOD－∠BOC，又∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOB＝∠COD，∵∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝∠AOD，∴∠AOB＝12(∠AOD－∠BOC)＝12(120°－70°)＝25°2．如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝46°，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°，(1)求∠BOD的度数．(2)通过计算判断OE是否平分∠BOC.解：(1)∵∠AOC＝46°，OD平分∠AOC，∴∠AOD＝23°，∴∠BOD＝180°－23°＝157°(2)OE是∠BOC的平分线．理由如下：∵∠AOC＝46°，∴∠BOC＝134°.∵OD平分∠AOC，∴∠DOC＝12×46°＝23°.∵∠DOE＝90°，∴∠COE＝90°－23°＝67°，∴∠COE＝∠BOC，即OE是∠BOC的平分线3．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE.试求∠COE的度数．解：∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠BOC＝12∠AOB＝45°，∵∠BOD＝∠COD－∠BOC＝90°－45°＝45°，∠BOD＝3∠DOE，∴∠DOE＝15°，∴∠COE＝∠COD－∠DOE＝90°－15°＝75°类型二：方程思想4．如图，已知∠AOE是平角，∠DOE＝20°，OB平分∠AOC，且∠COD∶∠BOC＝2∶3，求∠BOC的度数．解：设∠COD＝2x°，则∠BOC＝3x°，∵OB平分∠AOC，∴∠AOB＝3x°.∴2x＋3x＋3x＋20＝180.解得x＝20.∴∠BOC＝3×20°＝60°5．如图，已知BC平分∠DBE，BA分∠DBE成3∶4两部分，若∠ABC＝8°，求∠DBE的度数．解：设∠DBA＝3x°，则∠ABE＝4x°，∠DBE＝7x°，∵BC平分∠DBE，∴∠DBC＝12∠DBE＝72x，∴∠ABC＝∠DBC－∠DBA＝72x－3x＝12x，∵∠ABC＝8°，∴12x＝8，解得x＝16，∴∠DBE＝7x＝7×16°＝112°类型三：整体思想6．如图，已知∠AOB＝110°，OD为∠AOB内一条射线，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数．解：∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，∴∠EOD＝12∠AOD，∠DOF＝12∠DOB，又∵∠EOF＝∠EOD＋∠DOF＝12∠AOD＋12∠DOB＝12(∠AOD＋∠DOB)＝12∠AOB＝12×110°＝55°类型四：分类讨论思想7．已知∠AOB＝80°，∠BOC＝30°，求∠AOC的大小．解：分两种情形讨论．(1)当∠BOC在∠AOB的内部时，∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝80°－30°＝50°(2)当∠BOC在∠AOB的外部时，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝80°＋30°＝110°，故∠AOC的度数为50°或110°8．已知∠AOB＝60°，从点O引射线OC，使∠AOC＝40°，作∠AOC的角平分线OD，(1)依题意画出图形；(2)求∠BOD的度数．解：(1)分两种情况讨论：当∠AOC在∠AOB的外部时，如图①；当∠AOC在∠AOB的内部时，如图②(2)如图①，∵射线OD平分∠AOC，∴∠AOD＝12∠AOC＝20°，∴∠BOD＝∠AOB＋∠AOD＝80°；如图②，∵射线OD平分∠AOC，∴∠COD＝12∠AOC＝20°，∴∠BOD＝∠AOB－∠AOC＋∠COD＝40°9．已知∠BOC在∠AOB的外部，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，OD平分∠AOC，∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，试求∠COF的度数．解：(1)当∠AOB大于∠BOC时，如图①所示∠BOE＝∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，∴∠DOE＝10°，∠AOD＝40°，∵∠COD＝∠AOD＝40°，∠BOD＝20°，∴∠BOC＝20°，从而∠COF＝12×20°＝10°(2)当∠AOB小于∠BOC时，如图②时，∠BOE＝∠AOE＝30°，∠BOD＝20°，∴∠AOD＝80°，∵∠COD＝∠AOD＝80°，∠BOD＝20°，∴∠BOC＝100°，从而∠COF＝12∠BOC＝12×100°＝50°.故∠COF的度数为10°或50°类型五：角的旋转10．已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.(1)如图1.A：若∠AOC＝60°，求∠DOE的度数；B：若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数(用含α的式子表示)；(2)将图1中的∠DOC绕点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．解：(1)A：∵∠AOC＝60°，∴∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－60°＝120°.∵OE平分∠BOC，∴∠COE＝12∠BOC＝12×120°＝60°.又∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COD－∠COE＝90°－60°＝30°.B：∠DOE＝90°－12(180°－α)＝90°－90°＋12α＝12α(2)∠DOE＝12∠AOC，理由如下：∵∠BOC＝180°－∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠COE＝12∠BOC＝12(180°－∠AOC)＝90°－12∠AOC.∴∠DOE＝90°－∠COE＝90°－(90°－12∠AOC)＝12∠AOC