三角换元

三角换元的应用--化繁为简，别有洞天在处理许多三角问题时，我们常将三角问题代数化，以求化繁为简，化难为易；相反，在处理某些代数问题时，我们也可作适当的三角变换，将代数问题转化为三角问题，同样可收到令人满意的效果．现在举例说明如何使代数问题三角化．一、求无理函数值域求无理函数的值域，常见解法有两种：一是对等式两端平方，这可能扩大值域；二是利用代数换元，转化为二次曲线问题，这种解法又不易掌握，但恰当地进行三角代换，则方法简单．【例1】求函数y＝2x＋1＋6－x的值域．解析此函数的定义域为[－1,6]．因为(x＋1)2＋(6－x)2＝7，所以设x＋1＝7sinθ，6－x＝7cosθ，θ∈[0，π2]，则y＝27sinθ＋7cosθ＝35sin(θ＋φ)，其中tanφ＝12.再由φ≤θ＋φ≤π2＋φ，知sin(θ＋φ)的取值范围为[55，1]．∴函数y的值域是[7，35]．【例2】求函数y＝x－2＋4－x2的值域．解析函数的定义域为[－2,2]．因为x2＋(4－x2)2＝4，所以可设x＝2sinθ4－x2＝2cosθ，θ∈[－π2，π2]，则y＝2sinθ＋2cosθ－2＝22sin(θ＋π4)－2.由－π4≤θ＋π4≤3π4可知－4≤y≤22－2.即函数的值域为[－4,22－2]．二、解无理不等式和方程在解有关无理不等式和方程时，如果我们直接将无理式有理化后求解，则必须平方，这样势必要对其进行讨论，过程较繁．若我们能对题目的特点进行分析，借助于三角代换，则可使问题化难为易，简捷获解．【例3】解不等式x1＋x2＋1－x21＋x20.解析设tanα＝x(－π2απ2)，∵x1＋x2＝tanα1＋tan2α＝sinα，1－x21＋x2＝1－tan2α1＋tan2α＝cos2α，∴原不等式化为sinα＋cos2α0，即(2sinα＋1)(sinα－1)0.∵sinα－10，∴2sinα＋10，即sinα－12，得－π6απ2.又tanαtan(－π6)＝－33，∴原不等式的解集为x|x－33.【例4】在实数集上解无理方程：1－2x22x1－x2＝1－x2－x1－x2＋x.解析设x＝sinα(－π2απ2)，原方程变为1－2sin2α2sinαcosα＝cosα－sinαcosα＋sinα.即cos2αsin2α＝2cos(α＋π4)2sin(α＋π4)，tan2α＝tan(α＋π4)．∴2α＝kπ＋α＋π4，α＝kπ＋π4(k∈Z)．又－π2απ2，取k＝0，得α＝π4.∴x＝sinπ4＝22.经检验知x＝22是原方程的解．【例4】在实数集上解无理方程：1－2x22x1－x2＝1－x2－x1－x2＋x.三、证明不等式对于给定条件的不等式证明问题，如果我们能认真分析给定条件中隐含的三角函数关系，将代数不等式三角函数化，这样可使问题来得简捷合理．【例5】若x，y，z∈R＋，z2＝x2＋y2，求证xn＋ynzn(nz，n∈N)．分析∵z2＝x2＋y2可化为xz2＋yz2＝1，从而可以借助三角函数的平方关系换元．证明设x＝zcosα，y＝zsinα(0απ2)，则xn＋yn＝zn(sinnα＋cosnα)．又0sinα1，0cosα1⇒sinnαsin2α，cosnαcos2α，∴xn＋ynzn(sin2α＋cos2α)＝zn.【例6】已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，证明：|ax＋by|≤1.证明由题设条件知，|a|≤1，|b|≤1，|x|≤1，|y|≤1，故由平方关系可设a＝sinα，b＝cosα，x＝cosβ，y＝sinβ.则|ax＋by|≤|sinαcosβ＋cosαsinβ|＝|sin(α＋β)|≤1.【例7】已知a、b、c都是小于1的正数，求证：(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a中至少有一个不大于14.分析本题条件特征是三个已知正数均小于1，故可通过三角代换，把求证式问题转化为三角函数式，将会有新的启示．证明根据条件，不妨设a＝sin2α，b＝sin2β，c＝sin2γ，且0α、β、γπ2，则(1－a)b·(1－b)c·(1－c)a＝cos2αsin2β·cos2βsin2γ·cos2γsin2α＝14sin22α·14sin22β·14sin22γ≤164.∴(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a中至少有一个不大于14.四、求函数最值运用三角代换能使某些代数函数的最值问题得到最佳的解决．【例8】求y＝2x＋21－x2－1(x≥0)的最值．解析由函数定义域知|x|≤1，又x≥0，∴0≤x≤1.设x＝sinα(0≤α≤π2)，则y＝2sinα＋21－sin2α－1＝2sinα＋2cosα－1＝22sin(α＋π4)－1.由0≤α≤π2⇒π4≤α＋π4≤3π4⇒22≤sin(α＋π4)≤1⇒1≤22sin(α＋π4)－1≤22－1.故当α＝0，即x＝0时，y取最小值1；当α＝π4，即x＝22时，y取最大值22－1.【例9】设x，y∈R＋，且x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值．解析∵x，y∈R＋，且x＋2y＝1，∴0x1,02y1.从而设x＝cos2α，2y＝sin2α(0απ2)，则1x＋1y＝1cos2α＋2sin2α＝1＋tan2α＋2＋2tan2α≥3＋22.当且仅当tan2α＝2tan2α，即tan2α＝2时取等号，此时x＝2－1，y＝2－22.于是当x＝2－1，y＝2－22时，1x＋1y取得最小值3＋22.【例10】已知实数x，y满足5x2－3xy＋5y2＝3，求函数u＝x2＋y2的最值．解析设x＝ucosα，y＝usinα，将此代入原方程得5ucos2α－3usinαcosα＋5usin2α＝3.即u＝610－3sin2α.于是当sin2α＝1时，umax＝67；当sin2α＝－1时，umin＝613.五、求参数的取值范围对于多变元含参数的代数综合题，有时可通过三角代换法来减少变元个数，从而化简求解过程．【例11】已知x2＋y2－2x－2y＋1＝0，若x，y为实数时，均有x＋y－k≥0，求k的取值范围．解析所给方程即为(x－1)2＋(y－1)2＝1，从而可设x－1＝cosα，y－1＝sinα，即x＝1＋cosα，y＝1＋sinα.对于任意实数x，y，要使x＋y－k≥0，则须使：1＋cosα＋1＋sinα－k≥0，即k≤sinα＋cosα＋2＝2sin(α＋π4)＋2对α为任何实数均成立．由于2sin(α＋π4)的最小值为－2，则k≤－2＋2时，k≤sinα＋cosα＋2对一切实数α均成立，故k的取值范围是(－∞，－2＋2].