三角恒等变换和解斜三角形

第2讲三角恒等变形和解斜三角形重点知识回顾1．两角和与差的三角函数公式：sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ．公式变形：(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；(2)辅助角公式：asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2)．2．二倍角公式：sin2α＝2sin_αcos_α；cos2α＝cos2α－sin2α＝1－2sin2α＝2cos2α－1；tan2α＝2tanα1－tan2α．公式变形：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α．sin2α2＝1－cosα2，cos2α2＝1＋cosα2，tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα．3．正弦定理(1)正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为三角形外接圆的半径)．(2)正弦定理变形：a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C．4．余弦定理(1)余弦定理：c2＝a2＋b2－2abcos_C，a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，特殊的，当C＝π2时，a2＋b2＝c2(勾股定理)．(2)余弦定理变形：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab．5．三角形的面积(1)S△＝12ah(h是边a上的高)．(2)S△＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB．主要考点剖析考点一三角化简与求值命题规律高考试题以考查学生利用和、差角公式进行恒等变形的技能和运算能力为主，题型有选择题、填空题以及解答题，分值在15分左右，一般难度不大．解答题往往将这部分知识融入三角形之中，既考查考生运用三角公式进行恒等变换的技能，又考查其解三角形的基础知识及正、余弦定理等．解答题以中档题为主，在命题上通常是先对三角函数关系式进行三角变换，使之转化为一个角的三角函数的形式，再利用图象法或整体换元法将其转化为对基本三角函数性质的研究．●例1(1)在锐角△ABC中，若tanA＝t＋1，tanB＝t－1，则t的取值范围是()(A)(2，＋∞)．(B)(1，＋∞)．(C)(1，2)．(D)(－1,1)．(2)cot20°cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40°＝________．【解析】(1)∵△ABC是锐角三角形，∴A＋Bπ2，∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝2t1－(t2－1)0，即2tt2－20⇒t2或－2t0．又由tanB＝t－10得t1，∴t2．故选A．(2)原式＝cos20°cos10°sin20°＋3sin10°sin70°cos70°－2cos40°＝cos20°cos10°＋3sin10°cos20°sin20°－2cos40°＝cos20°(cos10°＋3sin10°)sin20°－2cos40°＝2cos20°(cos10°sin30°＋sin10°cos30°)sin20°－2cos40°＝2cos20°sin40°－2sin20°cos40°sin20°＝2．[答案](1)A(2)2【点评】(1)由三角形是锐角三角形得出“A＋B”，从而为正切函数的和角公式的运用及不等关系的建立创造了条件．解决这类问题时，一方面要注意三角形内角和定理的运用，另一方面要适时、合理地创造条件以使用三角公式．(2)在求三角的问题中，要注意“三看”：①看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化；②看名称，把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切；③看式子，即看式子是否满足三角函数的公式．如果满足则可直接使用，如果不满足则需转化一下角或转换一下名称，就可以使用．[答案]C★互动变式1锐角△ABC中，若∠C＝2∠B，则ABAC的范围是()(A)(0,2)．(B)(2，2)．(C)(2，3)．(D)(3，2)．【解析】ABAC＝sinCsinB＝sin2BsinB＝2cosB，因为△ABC是锐角三角形，所以0＜π－B－2B＜π2，且0＜2B＜π2，得π6＜B＜π4，2cosB∈(2，3)．（2011年石家庄质检二）●例2已知0＜α＜π2，π2＜β＜π，且tanα2＝12，sin(α＋β)＝513．(1)求cosα和cosβ的值；(2)求tanα－β2的值．【分析】由α，β的范围可确定α2、β2的范围．从而可确定α、β、α2、β2的三角函数值的符号，再由和差角三角函数公式可求得需要的值．【解析】(1)∵0＜α＜π2＜β＜π，tanα2＝12且0＜α2＜π4，∴cosα2＝25，sinα2＝15．于是cosα＝2cos2α2－1＝2·45－1＝35，sinα＝45．又sin(α＋β)＝513且π2＜α＋β＜32π，∴cos(α＋β)＝－1213．∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1213·35＋513·45＝－1665．(2)由(1)可知cosβ＝－1665，且π2＜β＜π，∴sinβ＝6365．而π4＜β2＜π2，tanβ＝2tanβ21－tan2β2＝－6316，∴tanβ2＝sinβ1＋cosβ＝97．于是tanα－β2＝tanα2－tanβ21＋tanα2tanβ2＝12－971＋12×97＝－1123．【点评】在三角函数的计算与证明中，往往要进行角与角之间的变换，为了得到合理的角的变换式，就必须观察待求问题中的角与已知条件中的角之间的联系，角变换技巧有：(1)单角化复角(这里所说的复角是指由角的和或角的差所形成的角)，常用的角变换式有α＝(α＋β)－β＝α＋β2＋α－β2；(2)单角化倍角，主要角变换式有α＝2α－α；(3)倍角化复角，常用的角变换式有2α＝(α＋β)＋(α－β)＝π4＋α－π4－α；(4)复角化复角，主要有以下三组变换式：①2α＋β＝(α＋β)＋α，2α－β＝(α－β)＋α；②α＋β2＝α－β2－α2－β，α－β2＝α＋β2－α2＋β；③π4＋α＋π4＋β＝π2＋(α＋β)，π4＋α＋π4－β＝π2＋(α－β)，利用上述的角的变换就可以避免和差化积带来的繁琐！【解析】(1)∵|a|＝1，|b|＝1，∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2＋|b|2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝1＋1－2cos(α－β)．∵|a－b|2＝2552＝45，∴2－2cos(α－β)＝45，因此cos(α－β)＝35．★互动变式2已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝255．(1)求cos(α－β)的值；(2)若－π2β0απ2，且sinβ＝－513，求sinα的值．(2)∵－π2β0απ2，∴0α－βπ．由cos(α－β)＝35，得sin(α－β)＝45．由sinβ＝－513，得cosβ＝1213，∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝45×1213＋35×－513＝3365．考点二解斜三角形命题规律三角形是研究三角函数的重要载体，在与三角形有关的问题中，正弦定理与余弦定理的应用已成为高考命题的热点．解决这类问题，要善于抓住三角形中边与角之间的关系，学会将问题转化为三角恒等变形的问题来处理．此外，还会以三角函数知识与正、余弦定理为载体考查实际应用问题,解决这类问题的关键是从实际问题的具体情境中，抽象出数学本质，将其转化为数学问题．●例3在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若m＝sin2B＋C2，1，n＝cos2A＋72，4，且m∥n．(1)求角A的度数；(2)当a＝3，S△ABC＝32时，求边长b和角B的大小．【分析】(1)由向量平行得出三角关系式，利用三角形中角的关系和三角变换公式构造方程求解．(2)利用面积公式和余弦定理求解．【解析】(1)∵m∥n，∴4sin2B＋C2＝cos2A＋72，∴2[1－cos(B＋C)]－(2cos2A－1)－72＝0．∵cos(B＋C)＝－cosA，∴4cos2A－4cosA＋1＝0，∴(2cosA－1)2＝0，即cosA＝12．又∵0°A180°，∴A＝60°．(2)∵S△ABC＝12bcsinA．∴12bc×32＝32，即bc＝2．①∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝3．∴(b＋c)2＝9，即b＋c＝3．②由①②解得b＝2，c＝1或b＝1，c＝2.当b＝2时，sinB＝sinAa×b＝1，B＝90°；当b＝1时，sinB＝sinAa×b＝12，【点评】本题覆盖的知识较多，涉及到向量平行、倍半角公式、正余弦定理、面积公式等．解题的要点是降次、化倍角、去半角得到角A的单个三角函数，这些都是三角形问题的基本策略．此外，方程的思想、分类讨论的思想在求b和角B时也得到了体现．★互动变式3已知角A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，若m＝－cosA2，sinA2，n＝cosA2，sinA2，a＝23，且m·n＝12．(1)若△ABC的面积S＝3，求b＋c的值；(2)求b＋c的取值范围．【解析】(1)m＝－cosA2，sinA2，n＝cosA2，sinA2，且m·n＝12．∴－cos2A2＋sin2A2＝12，即－cosA＝12，又A∈(0，π)，∴A＝2π3，又由S△ABC＝12bc·sinA＝3，∴bc＝4．由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc·cos2π3＝b2＋c2＋bc，∴16＝(b＋c)2，故b＋c＝4．(2)由正弦定理得：bsinB＝csinC＝asinA＝23sin2π3＝4，又B＋C＝π－A＝π3，∴b＋c＝4sinB＋4sinC＝4sinB＋4sin(π3－B)＝4sin(B＋π3)，∵0Bπ3，则π3B＋π32π3，则32sin(B＋π3)≤1，即b＋c的取值范围是(23，4]．●例4如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3，2)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°．(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？【分析】由曲线段图象求出解析式，然后由正弦定理推出折线段赛道MNP的三角函数式，最后化为一个标准的三角函数式求出其最大值．3【解析】(1)依题意有A＝23，T4＝3，又T＝2πω，∴ω＝π6．∴y＝23sinπ6x．当x＝4时，y＝23sin2π3＝3，∴M(4,3)．又P(8,0)，∴MP＝42＋32＝5．(2)(法一)在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5．设∠PMN＝θ，则0°＜θ＜60°．由正弦定理得MPsin120°＝NPsinθ＝MNsin(60°－θ)，∴NP＝1033sinθ，MN＝1033sin(60°－θ)，故NP＋MN＝1033sinθ＋1033sin(60°－θ)＝103312sinθ＋32cosθ＝1033sin(θ＋60°)．∵0°＜θ＜60°，∴当θ＝30°时，折线段赛道MNP最长，亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段赛道MNP最长．(2)(法二)设MN＝a，NP＝b，即求a＋b的最大值．∵|MP|＝5，∠MNP＝120°，∴25＝a2＋b2－2abco