三角恒等变换的常用技

1三角恒等变换的常用技巧在不改变结果的前提下，运用基本公式及结论，从角、名、次方面入手，把一个三角函数式转化成结构比较简单、便于研究的形式，这种变形叫做三角恒等变换．三角恒等变换的常见变换技巧归纳如下：题型一：常值代换（特别是“1”的代换）【知识链接】221sincostan422sectan22csccot．【巩固与应用】1．若35(,)22x，则1sinx可化为（）DA．2sin()24xB．2cos()24xC．2cos()24xD．2sin()24x2．已知tan=2，求值：222sinsincoscos.题型二：公式变形【知识链接】tantan(1tantan)tan()．【巩固与应用】1．化简：tan10tan20tan20tan60tan10tan60.2．（1）已知4AB,求证：(1tan)(1tan)2AB；（2）化简：(1tan1)(1tan2)(1tan44)(1tan45).题型三：升次降次【知识链接】22sin1cos2，22cos1cos2，22cossincos2，2sincossin2．34sin3sinsin3，34coscos33cos．上面公式正用降次，反用升次.【巩固与应用】1．若322，则1cos()2的值是（）A．sin2B．cos2C．sin2D．cos22．求值：44sino8cs8ππ＿＿＿＿＿．3．求值：22sin20cos50sin20cos50．4．（08宁夏、海南理7）23sin702cos102A．12B．22C．2D．325．（07陕西理4）已知sin55α，则44sincosαα的值为A．15B．35C．15D．356．求函数sinsincosyxxx的单调区间。增5,88ππkπkπ，减3,88ππkπkπZk7．已知cos(4)35πx，171274πxπ，求2sin22sin1tanxxx的值。结果28758．已知函数2()2cossin3sinsincos3πfxxxxxx（1）求：函数()fx的最大值及最小值；（2）求：函数()fx的最小正同期、单调递增区间；（3）该函数图像可由sin2yx图像作怎样变化而得到。题型四：公式活用【知识链接】公式正用、公式逆用、公式变形后使用【巩固与应用】1．求值：tan10tan20tan20tan60tan60tan1012．已知为第三象限角,且445sincos9θθ,那么sin2θ等于（A）A．223B．223C．23D．233．在△ABC中，若sinsincoscosABAB+sincoscossin2ABAB，则△ABC为.等腰直角三角形4．函数2cossin22xxy的最小正周期是（）CA．4B．2C．πD．2π5．（06全国Ⅱ理10）若(sin)3cos2fxx，则(cos)fx等于CA．3cos2xB．32sin2xC．3cos2xD．32sin2x6．（07浙江理12）已知1sincos5，且324，则cos2的值是．题型五：弦切互化【知识链接】能实现转化的公式有：sintancos，1cos2sin2tansin21cos2．【巩固与应用】31．求值：1sin20(tan5)tan51cos20．-22．求值：sin50(13tan10)．3．已知tan(45)12α，则11tan2cos211tan2cos2αααα．4．求值：14cos10tan10．5．求证：21sin2(tan2)4costan2xxxx.6．若2sincos2θθ，则1tan+tanθθ．-4题型六：辅助角变换【知识链接】1．辅助角公式：22sincossin()axbxabx．（其证明附后）2．推论：sincos2sin()4xxx；3sincos2sin()6xxx；sin3cos2sin()3xxx；cossin2cos()4xxx；3cossin2cos()6xxx；cos3sin2cos()3xxx．3．利用公式1tantan(x)1tan4xx及1tantan()1tan4xxx引入．【巩固与应用】1．函数3sin(2)cos23yxx的最小值是（）A．31B．1C．3D．02．把函数cos3sinyxx的图像向左平移(0)mm个单位，所得的图像关于y轴对称则m的最小正值是（）A．6B．3C．23D．563．函数sin2cos2sin2cos2xxyxx的最小正周期为＿＿＿＿＿．4．求函数sin(sincos)yxxx的单调区间．3．当22x时，函数sin3cosfxxx的值（D）A．最大值是1，最小值是-1B．最大值是1最小值是124C．最大值是2最小值是-2D．最大值是2最小值是-14．与2sincosyxx的周期、振幅都相同的函数是（A）A．5sinyxB．2sinyxC．3cosyxD．sincosyxx题型七：角的和差拆分变换【知识链接】1．原则：化未知为已知．2．拆分技巧：再如203010．如2()()ααβαβ；()()424，()()326，()ααββ()αββ22αβαβ22βαβα等．3．半角与倍角的相对性：如α是2α的半角，同时也是2α的倍角；2α是α的半角，同时也是4α的倍角；【巩固与应用】例已知3sin(2)5αβ，12sin13β，且,2παπ，,02πβ，求sinα的值．1．（06重庆理13）已知3,(,)4，3sin()5，12sin()413，则cos()4．2．（08天津理17）已知2cos()410x，3,24x．（1）求的sinx值；（2）求sin23x的值．3．（07江苏理11）若1cos()5，3cos()5，则tantan．4．（08山东理5）已知4cos()sin365παα，则7sin()6πα的值是A．235B．235C．45D．455．（08上海春理6）化简：cos()sin()36．6．（08江苏理15）在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点．已知A、B的横坐标分别为210、255．（1）求tan()的值；（2）求2的值．7．已知02,3sin5，4cos()5，则sin5A．0B．0或2425C．2425D．24258．sin7cos15sin8cos7sin15sin8的值等于（）A．23B．232C．23D．2329．设sin(2)3sin,则tantan．10．已知2tan5，1tan44,那么tan4的值是（B）A．1318B．322C．1322D．31811．已知,是锐角，cos45α，tan()13αβ，求cos的值。9cos1050β题型八：和积互化（不要求）【知识链接】1．积化和差公式2．和差化积公式3．和sincosxx积sincosxx互化.【巩固与应用】1．如果(0,)2,2sincos2，则cos2为（）A．32B．32C．32D．342．已知13sincos2,(0,)那么tan的值是（）A．33B．3C．33D．33．化简：22222cos+cos()+cos()33AAA．4．已知x是第二象限角，且sincosxxa（1a），求下列各式的值：（1）tancotxx；（2）1sin1cos1sin1cosxxxx．5．已知tan,tan是方程2240xx的两根，求cos2cos2sin2sin2的值．6．已知三角形ABC中的三个内角,,ABC满足2ACB，112coscoscosACB．求cos2AC的值。解法（I）：由题设条件60B，120AC62112222coscos22coscoscos60coscos2coscos2[cos()cos()]22ACACACACACACAC将11coscos60cos()222ACAC2cos2cos()22ACAC由2cos()2cos12ACAC243cos2cos32022ACAC2(2cos2)(22cos3)022cos30cos22222ACACACAC解法（II）：因为60B，120AC设2ACα则2ACα60Aα，60Cα故1111coscoscos(60)cos(60)ACαα22211coscos1331313cossincoscossincossin4442222ααααααααα222cos2cos2242cos2cos32033coscoscos44ααααBαα232(22cos3)(2cos2)0cos(cos)cos22222ACαααα附录一起点公式的证明1．两角和余弦公式的推导2．两角和正弦公式的推导3．半角公式sin1costan21cossin的推导4．辅助角的推导及其推论22sincossin()axbxabx，tanba；22cossincos()bxaxabx，tanab．由sincosaxbx的系数,ab可得点(,)Pab（一定要注意a与b顺序），射线OP（O为坐标原点）可作为某个角的终边，设为，于是有：7tanba，2222coscosaaabab，2222sinsinbbabab所以2222sincos(sincoscossin)sin()axbxabxxabx．其中，叫做辅助角，它所在象限取决于点(,)Pab所在象限，它的一个函数值为：tanba．推论：sincos2sin()4xxx；3sincos2sin()6xxx；sin3cos2sin()3xxx；cossin2cos()4xxx；3cossin2cos()6xxx；cos3sin2cos()3xxx．口诀：正余化正，加减不变，余正化余，加减颠倒，前6后3．5．附录二些常用的结果1．2(cossincos)1sin2．2．sincos1tantan()sincos1tan4，sincostan1tan()sincostan14．3．12tantansin2，12cos2tantansin2．附录三万能公式22tan2sin1tan2ααα，221tan2cos1tan2ααα，22tan2tan1tan2ααα．1．已知1tan311tanxx，求sin2x的值．附录四半角公式1cossin22αα，1coscos22αα，1cossin1costan