1-1函数 数列的极限

第一章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数与极限第一节映射与函数一、集合二、映射三、函数区间(有限和无限）一、集合)(aaa其中,a称为邻域中心,称为邻域半径.点的邻域去心邻域左邻域:右邻域:二、映射定义域,RDDxxfy,)(自变量因变量三、函数1.函数的概念定义.设数集则称映射为定义在D上的函数,记为函数图形:),(yxCDx,)(xfy)(DfDxy)],[(baDabxyDxfDxxfyyDfy),()((对应规则)(值域)(定义域)例如,反正弦主值•定义域•对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如,绝对值函数定义域值域例4.已知函数1,110,2)(xxxxxfy求)(21f及,)(1tf解:21212)(f2)(1tf10t,11t1t,2t时0t函数无定义并写出定义域及值域.定义域),0[D值域),0[)(Df2.函数的几种特性设函数,,)(Dxxfy且有区间.DI(1)有界性,Dx,0M使,)(Mxf称)(xf,Ix,0M使,)(Mxf称)(xf说明:还可定义有上界、有下界、无界为有界函数.在I上有界.,Dx使若对任意正数M,均存在,)(Mxf则称f(x)无界.称为有上界称为有下界,)(,Mxf),(,xfM当(2)单调性当,,21Ixx21xx时,,)()(21xfxf若称)(xf为I上的,)()(21xfxf若称)(xf为I上的单调增函数;单调减函数.xy1x2x(3)奇偶性,Dx且有,Dx若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.xyoxxxyoxx说明:若)(xf在x=0有定义,.0)0(f)(xf为奇函数时,则当必有例如,2)(xxeexfyxch偶函数xyoxexexych双曲余弦xyo又如,2)(xxeexfy奇函数xexexyshxsh双曲正弦记再如,xxychshxxxxeeee奇函数oyx11xth双曲正切记xyth(4)周期性,0,lDx且,Dlx则称)(xf为周期函数,xo2y2若称l为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数Cxf)(狄里克雷函数x为有理数x为无理数,1,03.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,Dxxfy,)(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为f的反函数.1)y＝f(x)单调递增(减)，其反函数且也单调递增(减).性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.)(xfyxy(,)Qbaxyo例如,),(,xeyx对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.)(xfyxy),(abQxyo指数函数(2)复合函数1),(Duufy1)(DDg且则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件1)(DDg不可少.例如,函数链:,arcsinuy但函数链22,arcsinxuuy不能构成复合函数.可定义复合函数两个以上函数也可构成复合函数.例如,0,uuy可定义复合函数:Zn02cot,22xkxk时),2,1,0(,cotkkvvu),(,2xxv1.uyarcsin2.,ueyvuarctan22xu与能否复合？是由arctanarcsinxye与arcsinvx复合而得的。arcsinxyx3.？4.初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数4.初等函数(2)初等函数由常数及基本初等函数经过有限次否则称为非初等函数.并可用一个式子表示的函数,四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.4.初等函数例如,,2xyy0,xx0,xx可表为故为初等函数.又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.2xxeeshx2xxeechxchxshxthx非初等函数举例:符号函数当x0当x=0当x0xyo11非初等函数举例:取整函数当xyo134212y21,210,ln01,12xexxxxx212e21yox1分段函数例5.求y的反函数及其定义域.解:01x当时,2xy则]1,0(,yyx10x当时,xyln则]0,(,yexy21x当时,12xey则]2,2(,ln12eyxy反函数y定义域为]2,2(]1,(e21,210,ln01,12xexxxxx212e21yox1,]1,0(,]0,(,]2,2(e第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准则一、数列极限的定义第二节数列的极限r一、数列极限的定义引例.设有半径为r的圆,面积An逼近圆面积S.n如图所示,可知当n无限增大时,An无限逼近S(刘徽割圆术).用其内接正n边形的limnnAS数学语言描述:,0当nN时,SAn总有limnnAS一、数列极限的定义正整数N，定义1:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).,1,,43,32,21nn1nnxn)(1nnnxnn1)1()(1n观察数列收敛,2,,8,4,2nnnx2)(n1)1(nnx观察数列趋势不定发散.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnnxyo1问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?nxn.1)1(1,1无限接近于无限增大时当nxnnn问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.1nxnnn11)1(1通过上面演示实验的观察:,1001给定,10011n由,100时只要n,10011nx有,10001给定,1000时只要n,1000011nx有,100001给定,10000时只要n,100011nx有,0给定,])1[(时只要Nn.1成立有nx当nN时,总有定义2：若数列及常数a有下列关系:axnnlim或)(naxn则称该数列的极限为a,记作此时也称数列收敛,否则称数列发散.当nN时,总有当nN时,总有axan)(Nn即),(axn)(Nn定义:几何解释:当nN时,总有nx1x2x3x1Nx2Nx2aaaNx.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnnxnnyxo1a210任意性（取定以前）固定性（取定以后）()NNNN不唯一注：数列极限存在与否与前有限项无关当nN时,总有例1.1)1(lim1nnnn证明证1nx1)1(1nnnn1,0任给,1nx要,1n只要,1n或所以,],1[N取,时则当Nn1)1(1nnn就有.1)1(lim1nnnn即当nN时,总有例2.已知证明证:0nx2)1(1n11n,)1,0(欲使只要,11n即n取,]11[N则当Nn时,就有,0nx故0)1()1(limlim2nxnnnn故也可取][1N也可由2)1(10nnx.11N与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:取11N例3.设,1q证明等比数列证:0nx欲使只要即亦即因此,取qNlnln1,则当nN时,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为0.唯一性有界性保号性数列与子数列四则运算和复合运算法则（第五节）极限存在准则(第六节）二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质1、收敛数列的极限唯一.唯一aaannlim如何证明极限的唯一性呢？常用反证法23ba22abnabax证:用反证法.及且.ba取因,limaxnn故存在N1,从而2banx同理,因,limbxnn故存在N2,使当nN2时,有2banx收敛数列的极限唯一.使当nN1时,假设22abnabbxnbax223ab从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当nN时,,,max21NNN取故假设不真!nx满足的不等式nx,212121axan使当nN时,有例4.证明：数列发散.证:用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限a存在.取则存在N,例4.证明数列是发散的.2121axannx),(2121aa但因交替取值1与－1,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间内,因此该数列发散.有界nnnaaalim1)1(n2、极限的有界性定理说明:此性质反过来不一定成立.例如,数列虽有界但不收敛.收敛数列一定有界.证:设取,1,N则当Nn时,从而有aaxna1取,,,,max21NxxxMa1则有.),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.,1axn有a.b.c.3、极限的保号性定理000limnnnxNnNax时，有当bxNnNbaxnnn时，有当0limbabxaxnnn且lim若且时,有,)0(.)0(证:对a0,取推论:若数列从某项起)0(.)0((用反证法证明)收敛数列的保号性.lim()knnnaaaaka.()limknnnaakaab.221limlimkkkkaaac.4、数列与子数列之间的极限*********************,axkn收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证:设数列是数列的任一子数列.若则,0,N当时,有现取正整数K,使于是当Kk时,有knN从而有由此证明.limaxknk*********************NNx1lim2kkx发散!则原数列一定发散.由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，三、极限存在准则（第六节）夹逼准则;单调有界准则.azynnnnlimlim)2(),2,1()1(nzxynnnaxnnlim1.夹逼准则(准则I)(P50)azynnnnlimlim)2(),2,1()1(nzxynnnaxnnlim证:由条件(2),,0,1N当时,当时,令,,max21NNN则当Nn时,有由条件(1)nnnzxyaa即,axn故.limaxnn,2Nnx22nn证:利用夹逼准则.由例5.证明且命题得证。)(limMaxnn)(limmbxnnab2.单调有界数列必有极限(准则2)(P52)nnnx)1(11nn1!121!2)1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!)1()1(例6.设证明数列极限存在.(P52～P54)证:利用二项式公式,有nnnx)1(11nn1!121!2)1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!)1()1(11)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n11nx)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1