福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件：第53讲 两直线的位置关系与对称问题

掌握两直线平行与垂直的条件、点到直线的距离公式、中心对称和轴对称的概念，能根据直线的方程判断两直线的位置关系，会求两相交直线的交点坐标和两平行直线间的距离，能把握对称的实质，并能应用对称性解题．1111112222221212211212211212122112121200.1//______________0(0)2____________________.30.14lykxbAxByClykxbAxByCllbbACACBCBCllllABABllkkbb．平面内的两条直线的位置若直线：或；直线：或①且或②且或．③或④与相交与重合且关系12211221122100(0)ABABACACBCBC或且或．000000112212()010.20.3___________.00_________.2_PxylAxByCAxByCAxByCdlAxByClAxByClld设点，，直线：，则点在直线上：点在直线外：点到直线的距离⑤特别地，若：，：，则与间的距．点与直线的⑥位置关系离000,0000000''01()()2200()()2())3(PxyMabPMPPPaxbyabPxyPxyPxylykxbPxyPPlPPl中心对称：求，关于点，对称的点的基本方法是转化为是线段的中点求，即．特例：当，时，，关于原点的对称点为，．轴对称：求已知点，关于已知直线：的对称点，的基本方法是转化为求方程⑦组的解，即由线段的．中心对称与轴对中点p称.⑧12567010()()()()()()__________________.()()()()()()kbPxyxyPxyPxyPxyyxyxPxyyxbyxbPybxbPybxbPxyxaybP特例：当，或时，分别有以下规律：ⅰ，关于轴、轴对称的点分别为，，，．ⅱ，关于直线，对称的点分别为⑨ⅲ，关于直线，对称的点分别为，，，．ⅳ，关于直线，对称的点分别为8(2),21,0axyPxbyk，，．注意：当时，不具有上述规律．'''1(24)0CFxyfCCCfCCC曲线：，经过上述规律进行变换，得曲线，则为关于对称的曲线．若的方程与的方程相同，则证明曲线自身具有．对称变换对称性．()0()0()0()0()0()0()0()0()(2)0CFxyxyCFxyFxyFxyyxyxyxbyxbCFyxFyxFybxbFybxbxaybMabCFaxyF特例：曲线：，关于轴、轴、原点对称的曲线的方程分别为，，，，，；关于直线，，，对称的曲线的方程分别是，，，，，，，；关于直线，，点，对称的曲线的方程分别为，，,202,20.xbyFaxby，1212211212120120003401|00|022||12222()()kkABABkkAxByCAABBAByyCCkxxAByyxxkbPyxPyx①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨【要点指南、，】，1.如果直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：x＋y－2＝0互相垂直，那么a的值等于()A．1B．－13C．－23D．－2【解析】方法1：由l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0，求得a＝－2.方法2：若两直线垂直且斜率存在，则k1·k2＝－1，即(－a2)·(－1)＝－1，得a＝－2.2.过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是()A．x－2y－1＝0B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋2y－1＝0【解析】方法1：过点(1,0)且斜率为12的直线方程为y＝12(x－1)，即x－2y－1＝0.方法2：设所求直线方程为x－2y＋c＝0，因为点(1,0)在直线上，所以1－0＋c＝0，所以c＝－1，所以所求直线方程为x－2y－1＝0.3.不等边△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，则直线xsin2A＋ysinA＝a与直线xsin2B＋ysinC＝c的位置关系是()A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直【解析】因为lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差数列，所以sin2B＝sinA·sinC.由正弦定理可知，sin2Asin2B＝sin2AsinA·sinC＝sinAsinC＝ac，故两直线位置关系是重合，故选C.4.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是x＋2y－3＝0.【解析】由已知及对称几何性质可设所求直线的方程为x＋2y＋λ＝0.又由x＝1x－2y＋1＝0，得点A(1,1)．又点A在直线x＋2y＋λ＝0上，从而λ＝－3，故对称的直线方程为x＋2y－3＝0.5.已知点(x0，y0)在直线ax＋by＝0(a，b为常数)上，则x0－a2＋y0－b2的最小值为a2＋b2.【解析】x0－a2＋y0－b2可看作点(x0，y0)与点(a，b)的距离，而点(x0，y0)在直线ax＋by＝0上，所以x0－a2＋y0－b2的最小值为点(a，b)到直线ax＋by＝0的距离，为a2＋b2a2＋b2＝a2＋b2.一两条直线的位置关系【例1】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a、b的值．(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．【解析】(1)方法1：因为l1⊥l2且l1过点(－3，－1)，所以aa－1－b＝0－3a＋b＋4＝0，解得a＝2b＝2.方法2：由已知可得l2的斜率必存在，所以k2＝1－a.若k2＝0，则1－a＝0，a＝1.因为l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0.又因为l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，即b＝3a－4＝－1≠0(不合题意)，所以此种情况不存在，即k2≠0.若k2≠0，即k1、k2都存在．因为k2＝1－a，k1＝ab，l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，即ab(1－a)＝－1.①又因为l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0.②由①②联立，解得a＝2，b＝2.(2)因为l2的斜率存在，l1∥l2，所以直线l1的斜率存在，所以k1＝k2，即ab＝(1－a)．③又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，所以l1、l2在y轴上的截距互为相反数，即4b＝b，④则联立③④解得a＝2b＝－2或a＝23b＝2，所以a、b的值分别为2和－2或23和2.【点评】在运用直线的斜截式y＝kx＋b时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况．运用直线的一般式Ax＋By＋C＝0时，要特别注意A、B为零时的特殊情况．另外求解与两直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两直线平行或垂直的充要条件；若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，试确定m、n的值，使：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.素材1【解析】(1)由m·m－8×2＝0，得m＝±4.由8×(－1)－n·m≠0，得m＝4n≠－2或m＝－4n≠2，即m＝4，n≠－2时，或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.(2)当且仅当m·2＋8·m＝0，即m＝0时，l1⊥l2.又－n8＝－1，所以n＝8，即m＝0，n＝8时，l1⊥l2且l1在y轴上的截距为－1.二有关距离问题【例2】已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过点P且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？【分析】设出直线方程，利用点到直线的距离公式求出系数即可．【解析】(1)①当l的斜率k不存在时显然成立，此时l的方程为x＝2.②当l的斜率k存在时，设l：y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，由点到直线的距离公式得，|－2k－1|1＋k2＝2，解得k＝34，所以l：3x－4y－10＝0.故所求l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.(2)数形结合可得，过点P且与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线．由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－1kOP＝2.由直线方程的点斜式得直线l的方程为y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，即直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝5.【点评】1.点到直线的距离公式和两平行直线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握．2．点到几种特殊直线的距离：(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；(3)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝a的距离d＝|y0－a|；(4)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝b的距离d＝|x0－b|.在直线x＋3y＝0上求一点P，使它到原点的距离与到直线x＋3y－2＝0的距离相等．素材2【解析】设点P的坐标为(－3t，t)，则－3t2＋t2＝|－3t＋3t－2|12＋32，解得t＝±15，所以点P的坐标为(35，－15)或(－35，15)．三两直线的交点问题【例3】求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．【分析】求l的方程：思路一：求交点，定斜率，用点斜式求解．思路二：利用直线系方程求解．【解析】方法1：由方程组x－2y＋4＝0x＋y－2＝0，解得x＝0y＝2，即P(0,2)．因为l⊥l3，所以kl＝－43，所以直线l的方程为y－2＝－43x，即4x＋3y－6＝0.方法2：因为直线l过直线l1和l2的交点，所以可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.因为l与l3垂直，所以3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.【点评】求与已知两直线的交点有关的问题，可有以下两种解法：(1)先求出两直线的交点，将问题转化为过定点的直线，然后再依其他条件求解．(2)运用过两直线交点的直线系方程：若两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为待定常数，不包括直线l2)，设出方程后再利用其他条件求解．本例中，若把条件中的“垂直”改为“平行”，求直线l的方程．素材3【解析】方法1：先求出交点为P(0,2)，又l∥l3，所以kl＝34，故直线l的方程为y－2＝34x，即3x－4y＋8＝0.方法2：设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.因为l∥l3，所以1＋λ3＝－λ－24≠4－2λ5，解得λ＝27.所以l的方程为3x－4y＋8＝0.四对称问题【例4】求直线l1：2x＋y－4＝0关于直线l：x－y＋2＝0对称的直线l2的方程．【解析】方法1：解方程组2x＋y－4＝0x－y＋2＝0，得直线l1与直线l的交点A(23，83)．在直线l1上取一点B(2,0)，设点B关于直线l对称的点为C(x，y)，则x＋22－y2＋2＝0yx－2＝－1，解得x＝－2y＝4，即C(－2,4)．又直线l2过A(23，83)和C(－2,4)两点，故由两点式得直线l2的方程为y－483－4＝x＋223＋2，即x＋2y－6＝0.方法2：设M(x0，y0)是直线l1上任意一点，它关于直线l的对称点为N(x，y)，则线段MN的中点坐标为(x＋x02，y＋y02)，直线MN的斜率为y－y0x－x0.由