1-1正弦定理和余弦定理课件

正弦定理ABC3C2C1CBC的长度与角A的大小有关吗?三角形中角A与它的对边BC的长度是否存在定量关系?在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:caAsincbBsin1sinC不难得到:CcBbAasinsinsinCBAabccc在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?AcbaCB正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.CcBbAasinsinsin即(1)若直角三角形,已证得结论成立.bADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC,即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB图1过点A作AD⊥BC于D,此时有证法1:(2)若三角形是锐角三角形,如图1,由(1)(2)(3)知，结论成立．CCbADsinsin）（且CcBbAasinsinsin仿(2)可得D(3)若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,此时也有cADBsin交BC延长线于D,过点A作AD⊥BC，CAcbB图2AasinBbsinCcsin＝＝（2R为△ABC外接圆直径）＝2R思考求证:证明：OC/cbaCBARCcRcCCCCCBA2sin2sinsin,90''RCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,AcbCBDa向量法证法2:利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.如何构造向量及等式？jACB在锐角中，过A作单位向量j垂直于，ACABC则有j与的夹角为，j与的夹角为.等式A90CBC90ABCBACAB怎样建立三角形中边和角间的关系？ABjCBACj)()90cos()90cos(90cosAABjCCBjACj　　AcCasinsin　即CcAasinsin同理，过C作单位向量j垂直于，可得CBCcBbsinsinCcBbAasinsinsin　　为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算，得到：证明方法3：在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？怎样引入单位向量？怎样取数量积？jACB在钝角中，过A作单位向量j垂直于，ACABC则有j与的夹角为，j与的夹角为.等式.90ACBC90ABCBACAB同样可证得：CcBbAasinsinsin　想一想：正弦定理还有没有其它的方法证明？证明：∵BacAbcCabSABCsin21sin21sin21BACDabcaABCahS21而CbBcADhasinsin∴CabBacSABCsin21sin21同理∴BacAbcCabSABCsin21sin21sin21haAbcSABCsin21证法3:剖析定理、加深理解正弦定理可以解决三角形中哪类问题：①已知两角和一边，求其他角和边.②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.CcBbAasinsinsin正弦定理：CcBbAasinsinsin在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即注意：（1）正弦定理适合于任何三角形.（2）（R为△ABC外接圆半径）（3）每个等式可视为一个方程：知三求一..2sinsinsinRCcBbAaABC例1在△ABC中，已知A＝32.0°，B＝81.8°，a＝42.9cm，解三角形..解：根据三角形内角和定理，例2在△ABC中，已知a＝20cm，b＝28cm，A＝40°，解三角形(角度精确到1°,边长精确到1cm).(cm)注意精确度,(cm)判断是关键定理的应用例1在△ABC中，已知c=10,A=45。,C=30。求a,b(精确到0.01）.解：且105C)(A180B∵CcBbsinsin∴b=CBcsinsin19.32=30sin105sin10已知两角和任意边，求其他两边和一角CcAasinsin∵∴a=CAcsinsin14.14=21030sin45sin10BACbc)26(5a课堂小结（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：①已知两角和任意边，求其他两边和一角②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)正弦定理：ABC111sinsinsin222ABCSabCbcAacBsinsinsinabcABC＝2R已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?课后思考本节小结:正弦定理的证明1.结构：正弦定理正弦定理的应用解三角形2.方法、技巧、规律(1)正弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具;(2)两类问题：一类已知两角和一边；另一类是已知两边和一边的对角；(3)注意正弦定理的变式；(4)180.注意内角和为的应用，以及角之间的转化3.思维误区警示：(1)(2)正弦定理可以解任意三角形；运用该定理解决“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求其它元素”这类问题时，注意对解的判断.首页尾页上页下页课堂探究案典例导航例1已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，求B，b，c.(1)由A＋B＋C＝180°，求B；(2)由正弦定理，求b和c.类型一已知两角及一边解三角形【导析】首页尾页上页下页课堂探究案典例导航∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，由正弦定理，得b＝asinBsinA＝20sin105°sin30°＝40sin(45°＋60°)＝10(6＋2)；c＝asinCsinA＝20sin45°sin30°＝202，∴B＝105°，b＝10(6＋2)，c＝202.类型一已知两角及一边解三角形例1已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，求B，b，c.【解】首页尾页上页下页课堂探究案典例导航【方法总结】已知三角形的两角及任一边解三角形，基本思路是：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．类型一已知两角及一边解三角形首页尾页上页下页课堂探究案变式训练1．在△ABC中，已知a＝18，B＝60°，C＝75°，求b的值．根据三角形内角和定理，A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°根据正弦定理，b＝asinBsinA＝18·sin60°sin45°＝96.类型一已知两角及一边解三角形解首页尾页上页下页课堂探究案典例导航例2已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a＝7，b＝8，A＝105°；(2)a＝10，b＝20，A＝80°；(3)b＝10，c＝56，C＝60°.解答本题可先利用正弦定理求另一边对角的正弦值，或利用三角形中大边对大角定理考虑解的情况，可由正弦定理求其他边和角．类型二已知两边及一边的对角解三角形【导析】首页尾页上页下页课堂探究案典例导航例2已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a＝7，b＝8，A＝105°；(2)a＝10，b＝20，A＝80°；(3)b＝10，c＝56，C＝60°.(1)∵a＝7，b＝8，∴ab，又∵A＝105°90°，∴本题无解．(2)∵a＝10，b＝20，∴ab，又∵A＝80°90°，∵bsinA＝20·sin80°20·sin60°＝103，∴ab·sinA，∴本题无解．(3)b＝10，c＝56，bc，C＝60°90°，本题有一解．类型二已知两边及一边的对角解三角形【解】首页尾页上页下页课堂探究案典例导航例2已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a＝7，b＝8，A＝105°；(2)a＝10，b＝20，A＝80°；(3)b＝10，c＝56，C＝60°.∵sinB＝bsinCc＝10·sin60°56＝22，∴B＝45°，A＝180－(B＋C)＝75°.∴a＝bsinAsinB＝10·sin75°sin45°＝10×6＋2422＝5(3＋1)．类型二已知两边及一边的对角解三角形【解】首页尾页上页下页课堂探究案典例导航【规律总结】已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一．(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．类型二已知两边及一边的对角解三角形首页尾页上页下页课堂探究案变式训练2．已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，求sinC.∵A＋B＋C＝180°，且A＋C＝2B，∴B＝60°.由正弦定理知sinA＝asinBb＝1×sin60°3＝12又ab，∴A＝30°，∴C＝90°，∴sinC＝1.类型二已知两边及一边的对角解三角形解首页尾页上页下页课堂探究案典例导航例3(满分样板12分)在△ABC中，若sinA＝2sinB·cosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．首先利用正弦定理将角的关系式sin2A＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，进而判断三角形的形状．类型三判断三角形的形状【导析】首页尾页上页下页课堂探究案典例导航例3(满分样板12分)在△ABC中，若sinA＝2sinB·cosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．法一：设asinA＝bsinB＝csinC＝k，则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC．2分∵sin2A＝sin2B＋sin2C.∴(ksinA)2＝(ksinB)2＋(ksinC)2.∴a2＝b2＋c2.类型三判断三角形的形状【解】首页尾页上页下页课堂探究案典例导航例3(满分样板12分)在△ABC中，若sinA＝2sinB·cosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．∴A＝90°，B＋C＝90°.6分由sinA＝2sinBcosC，得sin90°＝2sinBcos(90°－B)，∴sin2B＝12.10分∵B是锐角，∴sinB＝22，∴B＝45°，C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形.12分类型三判断三角形的形状【解】首页尾页上页下页课堂探究案变式训练3．在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，试判断△ABC的形状．设三角形外接圆半径为R，则a2tanB＝b2tanA⇔a2sinBcosB＝b2sinAcosA，4R2sin2AsinBcosB＝4R2sin2BsinAcosAsinAcosA＝sinBcosB⇔sin2A＝sin2B⇔2A＝2B或2A＋2B＝π⇔A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．类型三判断三角形的形状解人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。