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空间中的垂直关系习题课•教学目标•1．线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化•2．线线垂直、线面垂直、面面垂直的综合应用基础知识要点回顾直线与平面垂直的判定定理及其推论：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与平面内的，则这条直线与这个平面垂直⇒l⊥α推论1如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也这个平面⇒b⊥α推论2如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行⇒a∥b两条相交直线垂直垂直于a⊂αb⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥ba∥ba⊥αa⊥αb⊥α基础知识要点回顾(2)平面与平面垂直的判定定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的一条，则这两个平面互相垂直⇒α⊥β垂线l⊥αl⊂β基础知识要点梳理(3)平面与平面垂直的性质定理：文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的直线垂直于另一个平面⇒l⊥α交线α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a空间的垂直关系有直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直.它们之间存在相互转化关系：直线与直直线与平平面与平线垂直面垂直面垂直性质判定性质判定变式２：如图,AB为圆O的直径,C为圆周上异于AB的任一点,PA⊥面ABC,问:图中共有多少个Rt△?【分析】找出直角三角形,也就是找出图中的线线垂直.思考1线线垂直问题如图所示，PA⊥面ABC,BC⊥面PAC，则图中有哪几个直角三角形？变式１：如图所示，PA⊥面ABC,在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数是＿＿．４【解析】∵PA⊥面ABC,∴PA⊥AC,PA⊥BC,PA⊥AB.∵AB为圆O的直径,∴AC⊥BC.又∵AC⊥BC,PA⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥面PAC.∵PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC.故图中有四个直角三角形:△PAC,△PBC,△PAB,△ABC.【典例探讨】例1、如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证BD⊥AC.【典例探讨】例1、如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证BD⊥AC.证明：取BD的中点E，连接AE、CE，∵AB＝AD，∴AE⊥BD，又∵CB＝CD∴CE⊥BD，又∵AE∩CE＝E，AE⊂平面ACE，CE⊂平面ACE，∴BD⊥平面ACE.又∵AC平面ACE,∴BD⊥AC.【评析】线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的重要依据.例2、平行四边形ABCD的对角线交点为O，点P在平行四边形ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，判断PO与平面ABCD的位置关系，并加以证明。证明：PO⊥平面ABCD.∵O为平行四边形ABCD对角线的交点，∴OA＝OC.又∵PA＝PC,∴PO⊥AC.同理PO⊥BD.又∵AC∩BD＝O，AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD.线面垂直问题【评析】证明线面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线与添加辅助线解决.例3．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．求证：平面PAC⊥平面BDD1.面面垂直问题证明：∵长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，∴底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC，又∵DD1∩BD＝D，DD1⊂平面BDD1，BD⊂平面BDD1，∴AC⊥平面BDD1，又∵AC⊂平面PAC,∴平面PAC⊥平面BDD1.跟踪练习：如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC于点A，AD⊥BC于点D，求证：平面PBC⊥平面PAD.证明：∵PA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，又∵AD⊥BC，PA∩AD＝A，且AD⊂平面PAD，PA⊂平面PAD，∴BC⊥平面PAD，∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAD.【评析】当有面面垂直时，一般是在一个面内找（作）交线的垂线，则有线垂直于面；在证面面垂直时，一般可先从现有的直线寻找平面的垂线，若没有，可作辅助线解决.1、空间的垂直关系有直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直.它们之间存在相互转化关系：直线与直直线与平平面与平线垂直面垂直面垂直性质判定性质判定2、要证明想判定，由已知想性质PABC探究：如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB探究：如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PABPABC证明：过点A作AE⊥PB于E，∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，AE⊂平面PAB，∴AE⊥平面PBC.∵BC⊂平面PBC,∴AE⊥BC∵PA⊂平面PAB,AE⊂平面PAB,且PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC答案：1、A2、④3、证明：作SO⊥BC，垂足为O，连接AO，∵侧面SBC⊥底面ABCD，平面SBC∩平面ABCD=BC，且SO⊂平面SBC，∴SO⊥底面ABCD.∵AO，BO⊂平面ABCD，∴SO⊥AO，SO⊥BO.又∵SA＝SB，∴△AOS≌△BOS∴AO＝BO.又∵∠ABC＝45°，故△AOB为等腰直角三角形，即AO⊥BO，又∵BC⊥SO，且SO∩OA＝O，∴BC⊥平面SOA，∵SA⊂平面SOA,∴SA⊥BC.