空间几何中的角度计算和距离计算

第8课时空间几何中的角度计算与距离计算导学固思...1.利用直线与平面的平行和垂直的判定定理、性质定理进行一些空间几何中的线面角和二面角的计算.2.空间几何中有关的点面距离、空间几何体的高和体积的计算.导学固思...前面我们了解了直线与平面所成的角、二面角的概念,那么在实际应用中我们如何计算它们的角度呢?又有哪些方法技巧呢?我们在了解距离概念后,能否求出几何体的高,进一步求出空间几何体的体积呢?今天我们将初步揭开它们的面纱,探寻解这类问题的方法规律呢?导学固思...空间几何体的角度和距离(1)空间几何中有关角度的类型有:①线线角:主要指两条异面直线所成角.②:直线与平面所成角.③:从一条直线出发的两个半平面所成的图形.(2)空间几何中有关距离的类型有:、、、两异面直线间的距离(不要求掌握)、直线与平面平行时的线面距离、.这些距离问题往往都会转化成点面、点线之间的距离来作解.问题1线面角二面角点到直线的距离点到平面的距离两平行线间的距离两平行平面之间的距离导学固思...问题2求直线与平面所成角的基本思想和方法求直线和平面所成的角,几何法一般先定斜足,再作垂线找射影,然后通过求解,可以简述为“作(作出线面角)→证(证所作为所求)→求(解直角三角形)”.通常,通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段,垂足和斜足的连线是产生线面角的关键.解直角三角形求二面角的基本思想和方法求二面角时,关键是作出二面角的平面角,其常用作法有三种:(1)定义法:在二面角的棱上找一点(为了便于解决问题,可结合图形找某特殊的点),在两个半平面内过该点分别作与棱的射线.垂直导学固思...(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂面,该平面与二面角的两个半平面形成交线(实质是射线),这所成的角是二面角的平面角.(3)垂线法:如图,由一个半平面内不在棱上的点A向另一个半平面作垂线AB,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线BO,垂足为O,连接AO,易证即为二面角的平面角.∠AOB两条交线求空间中的点面距离的基本思想和方法空间中的距离问题都可以转化为点面距离,故解决点面距离问题是一切距离问题的基础,通常有以下几种方法求空间中的点面距离:问题4导学固思...(1)找出该点到平面的,再找到垂线段所在的,然后求出垂线段的长度,运用这种方法求解关键在于垂足是否容易找到及三角形是否易解.(2)该点的垂线段不容易寻找时,可以将该点等价转化为其他点到相应平面的距离.如:直线与平面时,该直线上任意一点到平面的距离相等;两平面时,其中一个平面上的任意一点到另一平面的距离相等;线段被平面时,线段两端的点到平面的距离相等.(3)体积法:根据体积公式,若求出该几何体的和,也就可以求出高,即点到平面的距离.平分平行解直角三角形三角形垂线段平行体积底面积导学固思...1已知A∈α,P∉α,PA与平面α所成的角为60°,PA=4,则PA在平面α上的射影的长度为().A.2B.23C.3D.4【解析】作PB⊥α,垂足为B,则PA在平面α上的射影为AB,且∠PAB=60°,所以AB=PA×cos60°=2.A已知平面ABC∩平面ABD=AB,直线m,n满足:m⊥平面ABC,n⊥平面ABD,直线m,n所成的角为60°,则二面角C-AB-D的大小为().A.30°B.60°C.120°D.60°或120°2D【解析】两个半平面的垂线所成的角,与二面角相等或互补,故选D.导学固思...在三棱锥A-BCD中,AD⊥底面BCD,BD⊥DC,AD=BD=DC=1,则点D到平面ABC的距离h=.【解析】等体积法:VA-BCD=VD-ABC,所以13AD×S△BCD=13h×SΔABC.显然△ABC为等边三角形,边长为2,则S△ABC=34·(2)2=32,又S△BCD=12,代入解得h=33.四面体ABCD中,已知棱AC=BC=2,其余各棱长都为1,求二面角A-CD-B的大小.【解析】因为AD=CD=1,AC=2,所以AD2+CD2=AC2,所以AD⊥CD,同理可得BD⊥CD,433导学固思...所以∠ADB是二面角A-CD-B的平面角.又因为AB=BD=AD=1,所以∠ADB=60°,所以二面角A-CD-B的大小为60°.求直线与平面所成的角如图,二面角α-l-β的大小为45°,AB⊂α,BC⊂β,AB⊥l,BC⊥l,AB=6,BC=1+3.求直线AC与平面β所成角的大小.导学固思...【解析】作AD⊥BC交BC于点D,因为AB⊥l,BC⊥l,AB∩BC=B,所以l⊥平面ABC,又AD⊂平面ABC,所以l⊥AD,且AD⊥BC,l∩BC=B,所以AD⊥β,所以∠ACD为直线AC与平面β所成的平面角,所以∠ABC为二面角α-l-β的平面角,所以∠ABC=45°,所以AD=BD=AB×sin45°=3,所以CD=BC-BD=1,tan∠ACD=𝐴𝐷𝐶𝐷=3,所以∠ACD=60°.故直线AC与平面β所成角的大小为60°.导学固思...7求二面角如图,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于点D、E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.【解析】∵SA⊥平面ABC,∴SA⊥AC,SA⊥BC,SA⊥AB,SA⊥BD.∵ED垂直平分SC,∴SE=EC.∵SB=BC,∴SC⊥BE,∴SC⊥平面BDE,∴SC⊥BD.又∵SA⊥BD,∴BD⊥平面SAC,∴BD⊥AC,BD⊥DE,∴∠EDC是二面角E-BD-C的平面角.设SA=1,则SA=AB=1,而SA⊥AC,SA⊥BC,SA⊥AB,导学固思...求点到直线的距离∴SB=BC=2,SC=2,∴在Rt△SAC中,∠ECA=30°,∴∠EDC=60°,即二面角E-BD-C的大小为60°.如图,底面是正方形ABCD,PC⊥平面ABCD,E,F是AB,AD的中点,AB=4,PC=3.(1)求证:EF⊥平面PCH;(2)求点B到平面PEF的距离.【解析】(1)∵E,F是AB,AD的中点,∴EF∥BD,且在正方形ABCD中,AC⊥BD,∴EF⊥HC.导学固思...又∵PC⊥平面ABCD,EF⊂平面ABCD,∴EF⊥PC,HC∩PC=C,∴EF⊥平面PCH.(2)由(1)知EF∥BD,BD⊄平面PEF,∴BD∥平面PEF,设AC,BD交于点O,则点B到平面PEF的距离等于点O到平面PEF的距离,作OG⊥PH交PH于点G,∵EF⊥平面PCH,OG⊂平面PCH,∴OG⊥EF,且PH∩EF=H,∴OG⊥平面PEF,∴点O到平面PEF的距离就是OG的长,由AB=4,PC=3易求得HC=32,OH=2,PH=33.由△OGH∽△PCH得:OG=𝑂𝐻·𝑃𝐶𝑃𝐻=2×333=63.∴点B到平面PEF的距离等于63.导学固思...在三棱锥P-ABC中,侧面PAC与面ABC垂直,PA=PB=PC=3.(1)求证:AB⊥BC;(2)若AC=4,求PB与平面ABC所成角的余弦值.【解析】(1)如图所示,取AC中点D,连接BD,PD.∵PA=PC,∴PD⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,∴PD⊥平面ABC.∵PA=PB=PC,∴DA=DB=DC,∴AC为△ABC的外接圆直径,∴AB⊥BC.导学固思...如图,在四面体ABCD中,△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等,且AB=AC=3,BC=2,求以BC为棱,以平面BCD和平面ABC为面的二面角的大小.导学固思...∵AB=AC,∴AE⊥BC.又∵△ABD≌△BCD,∴DB=DC,∴DE⊥BC,∴∠DEA为二面角A-BC-D的平面角.由△ABC≌△DBC可知,AB=AC=DB=DC=3.又∵△ABD≌△BDC,∴AD=BC=2,在Rt△DEB中,DB=3,BE=1,∴DE=𝐷𝐵2-B𝐸2=2,同理AE=2.在△AED中,∵AE=DE=2,AD=2,∴AD2=AE2+DE2,∴∠AED=90°,∴以BC为棱,以平面BCD和平面ABC为面的二面角的大小为90°.【解析】取BC的中点E,连接AE、DE.导学固思...在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AC=BC=2,AB=AA1=22,E是AA1的中点,连接C1E,求点B到平面B1C1E的距离.【解析】设点B到平面B1C1E的距离为h,A1B1的中点为F,连接C1F,因为AC=BC=2,所以A1C1=B1C1=2,所以C1F⊥A1B1,C1F=2,又AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥C1F,且AA1∩A1B1=A1,所以C1F⊥平面AA1B1B,连接BE,则𝑉𝐵-𝐵1𝐶1E=𝑉𝐶1-B𝐵1E,即13h𝑆△𝐵1𝐶1E=13·C1F·𝑆△𝐵𝐵1E,导学固思...因为AB=AA1=22,AC=BC=2,所以B1E=BE=10,BB1=22,所以𝑆Δ𝐵𝐵1E=12×22×22=4,又因为B1E=10,C1E=4+2=6,B1C1=2,所以B1E2=C1E2+B1𝐶12,所以C1E⊥B1C1,𝑆△𝐵1𝐶1E=12C1E·B1C1=12×6×2=6,所以13·h×6=13·2×4,解得h=433.所以点B到平面B1C1E的距离为h=433.导学固思...1.线段AB的长等于它在平面α内射影长的2倍,则AB所在直线与平面α所成的角为().A.30°B.45°C.60°D.120°C【解析】由直角三角形的边角关系,可知直线与平面α所成的角为60°.2.已知矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,在CD上截取CE=4,将△BCE沿BE旋转90°后如图所示,记旋转后的C的位置为C',则C'到AB的距离为().A.22B.23C.26D.4B导学固思...【解析】易发现底面ABC是直角三角形,PA=PB=PC,所以P在底面ABC的射影是△ABC的外心,即斜边AB的中点D,作DE⊥AC,交AC于点E,则∠PED是所求二面角的平面角,求得DE=4,PE=8,cos∠PED=12,所以∠PED=60°,即二面角P-AC-B的大小为60°.60°【解析】取BE中点为F,C'E=C'B=4,所以C'F⊥BE,所以C'F⊥平面ABED,作C'G⊥AB,连接FG,易证FG⊥AB,所以FG=2,C'F=22,所以C'G=23.3.三棱锥P-ABC,PA=PB=PC=73,AB=10,BC=8,CA=6,则二面角P-AC-B的大小为.导学固思...4.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,Q是PC中点,AC,BD交于O点.求二面角Q-BD-C的大小.【解析】连接QO,则QO∥PA且QO=12PA=12AB.∵PA⊥平面ABCD,∴QO⊥平面ABCD.∵QO⊂平面QBD,∴平面QBD⊥平面ABCD.故二面角Q-BD-C的大小等于90°.导学固思...