【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件：13.2 数列极限(共30张PPT)

§13.2数列极限本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考向瞭望把脉高考知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理1．定义一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数a(即|an－a|无限地趋近于0)，那么就说数列{an}以a为极限，或者说a是数列{an}的极限．目录一般地，设{an}是一个无穷数列，a是一个常数．如果{an}以a为极限，则记作_________.这个式子读作“当n趋向于无穷大时，an的极限等于a”．符号“→”表示“趋向于”，“n→∞”表示“_____________________”，就是n无限增大的意思.limn→∞an＝a也可读作“liman当n趋向于无穷大时等于a”.limn→∞an＝a有时也可记作当n→∞时，an→a.limn→∞an＝an趋向于无穷大目录2．数列极限有下面的四则运算法则如果limn→∞an＝a，limn→∞bn＝b，那么limn→∞(an±bn)＝_______；limn→∞(an·bn)＝_______；limn→∞anbn＝___(b≠0)．特别地：如果C为常数，则有：limn→∞(C·an)＝________.a±ba·babC·a目录3．几个常用极限(1)limn→∞C＝___(C为常数)；(2)limn→∞ank＝____(a，k均为常数，且k∈N*)；(3)limn→∞1n！＝____；(4)limn→∞qn＝1，q＝1，0，|q|1，不存在，q＝－1或|q|1.(5)如果等比数列{an}的首项为a1，公比满足|q|1且q≠0，Sn为其前n项和，则limn→∞Sn＝________.C00a11－q目录思考探究1．若an＝1n2＋2n2＋3n2＋…＋n－1n2.那么limn→∞an的值是0，还是不存在？如何应用法则？提示：limn→∞an＝limn→∞1n2＋limn→∞2n2＋…＋limn→∞n－1n2＝0＋0＋…＋0＝0是错误的．极限四则运算法则使用条件是①有限个数列．②每个数列都有极限．应按以下方法求：limn→∞an＝limn→∞1＋2＋…＋n－1n2＝limn→∞n－1n2n2＝limn→∞1－1n2＝limn→∞1－1nlimn→∞2＝12.目录2．如果limn→∞(an＋bn)存在，那么limn→∞an与limn→∞bn也存在对吗？举例说明？提示：不对．不一定存在，如an＝2n＋1.bn＝2－2n.目录课前热身1．(教材改编)数列－3.9，－3.99，－3.999，－3.9999，…，第n项为－3.9…9，则该数列的极限为()A．－2B．－3C．－4D．不存在n个9答案：C目录2．设无穷数列{an}为0,1,0,1，…，1＋－1n2，…，其前n项和为Sn，无穷数列{bn}为0，－1,0－1，…，－1＋－1n2，…，其前n项和为Tn，则下列判断正确的是()A．数列{an}的极限是0和1B．数列{an＋bn}的极限不存在C．数列{Sn}的极限存在D．数列{Tn}的极限不存在答案：D目录3．若limn→∞an＝A，则下面几个结论中，正确的是()A．数列{an－A}一定是递减数列B．数列{an－A}一定是递增数列C．数列{|an－A|}一定是递减数列D．数列{an－A}的极限是零答案：D目录4．(2011·高考上海卷)计算limn→∞1－3nn＋3＝________.解析：limn→∞1－3nn＋3＝limn→∞1－31＋3n＝1－3＝－2.答案：－25.limn→∞2n－1－3n2n＋3n－1等于________．答案：－3目录考点探究讲练互动考点突破考点1求给定数列的极限这类题型主要是应用数列极限的定义和极限的四则运算法则求某数列的极限，比较简单的数列可以从其各项变化趋势观察出它们的极限，比较复杂的数列可以通过恒等变形、转化变换等方法，运用极限的四则运算法则将其极限求出．目录例1求下列数列的极限．(1)limn→∞[1nn＋1＋4nn＋1＋…＋3n－2nn＋1]；(2)limn→∞[(1－122)(1－132)…(1－1n2)]；(3)limn→∞[n(n＋1－n)]．【思路分析】(1)应用等差数列求和公式，求得原数列解析式后再求极限．(2)应用平方差公式变成连乘积的形式，用约分变形求得原数列解析式后求极限．(3)分子有理化．目录【解】(1)∵1nn＋1＋4nn＋1＋…＋3n－2nn＋1＝1＋4＋…＋3n－2nn＋1＝1nn＋1·n1＋3n－22＝3n－12n＋1，∴原式＝limn→∞3n－12n＋1＝32.(2)∵(1－122)(1－132)…(1－1n2)＝(1＋12)(1－12)(1＋13)(1－13)…(1＋1n)(1－1n)＝(32·43·…·n＋1n)(12·23·…·n－1n)＝n＋12n，∴原式＝limn→∞n＋12n＝12.目录(3)原式＝limn→∞nn＋1－nn＋1＋nn＋1＋n＝limn→∞nn＋1＋n＝limn→∞11n＋1＋1＝12.【名师点评】“无限”结果在“有限”：对于“无限型”的和或积的极限，先转化为“有限型”的具体数列．目录考点2含参数的数列的极限求数列的极限一般是运用极限的四则运算法则，将数列极限转化为limn→∞1n＝0或limqn→∞n＝0(|q|1)的形式，这也是求解含参数的极限问题的基本思路．目录例2【思路分析】讨论a＝2、0a2、a2三种情况．已知a0，求limn→∞an＋2nan＋2n＋1.目录【解】①当a＝2时，原式＝limn→∞2n＋2n2n＋2n＋1＝23；②当0a2时，原式＝limn→∞a2n＋1a2n＋2＝12；③当a2时，原式＝limn→∞1＋2an1＋2×2an＝1＋01＋2×0＝1.综上所述：原式＝23a＝2120a21a2.【思维总结】讨论的依据是当limn→∞qn＝0时，必有|q|1.目录跟踪训练已知a0，求limn→∞anan＋2n＋1.解：当a＝2时，limn→∞2n2n＋2n＋1＝limn→∞13＝13；当a2时，limn→∞anan＋2n＋1＝limn→∞11＋2×2an＝11＋2limn→∞2an＝1；当0a2时，limn→∞anan＋2n＋1＝limn→∞a2na2n＋2＝limn→∞a2nlimn→∞a2n＋2＝0.∴limn→∞anan＋2n＋1＝13a＝21a200a2.目录考点3已知极限求参数范围(值)已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，且有limn→∞(a11＋q－qn)＝12，求首项a1的取值范围．例3【思路分析】limn→∞(a11＋q－qn)＝12这个式子，表明了两个问题：a11＋q－qn的极限存在，且其极限为12，从而得到关于a1，q的关系及q的取值范围，进而得到a1的取值范围．目录【解】limn→∞(a11＋q－qn)＝12，∴limn→∞qn一定存在．∴0|q|1或q＝1.(1)当q＝1时，a12－1＝12，∴a1＝3；(2)当0|q|1时，由limn→∞(a11＋q－qn)＝12，得a11＋q＝12，∴2a1－1＝q.∴0|2a1－1|1.∴0a11且a1≠12.综上，可得0a11且a1≠12或a1＝3.【思维总结】逆向思维求参数值要充分运用极限运算法则进行分析、讨论．目录方法技巧方法感悟1．求数列极限的常见题型(1)分式型：分子、分母同除以n的最高次幂后利用limn→∞1nk＝0求极限．当分子、分母次数相同时，极限为最高次的系数之比；当分子次数高于分母次数时，极限不存在；当分母次数高于分子次数时，极限为0.(2)指数型：分子、分母同除以底的绝对值大的项，利用limn→∞qn＝0(|q|1)求极限．(3)无理型：分子(分母)有理化．(4)求和(积)型：先求和(积)，再求极限．目录2．求含参变量的极限时，常需对参数进行分类讨论，要注意分类的标准，分类时不重不漏，典型的题型是指数型，分类讨论时应注意以下标准：(1)只含一个底数的指数型：根据底数的绝对值与1的大小进行讨论．(2)含有两个底数且分子分母中无常数项的指数型：根据两底数的大小关系进行讨论．目录失误防范运用数列运算法则应注意：(1)所求极限的各个数列均存在极限；(2)分母上的数列的极限不能为0；(3)数列和或积的极限法则仅对有限项数列成立．目录考向瞭望把脉高考命题预测从近两年的高考试题来看，主要以选择题或填空题的形式考查如何求数列极限以及已知数列极限求参数的值，属中低档题目．有时作为解答题的某一问．多数是分子、分母均为关于n的多项式类型及qn类型．在2012年的高考中，上海卷是关于qn型求极限的问题，重庆卷利用极限的概念求极限．预测2014年高考仍会以选择题或填空题的形式考查本节内容，很有可能会考到分子、分母均为多项式的分式类型和qn的类型求极限．目录典例透析例(2011·高考四川卷)已知定义在[)0，＋∞上的函数f(x)满足f(x)＝3f()x＋2，当x∈[)0，2时，f(x)＝－x2＋2x.设f(x)在[)2n－2，2n上的最大值为an()n∈N*，且{an}的前n项和为Sn，则limx→∞Sn＝()A．3B.52C．2D.32目录【解析】由f(x＋2)＝13f(x)可得f(x－2)＝3f(x)当x∈[)0，2时，f(x)＝－x2＋2x，a1＝f(1)＝2－1＝1；当x∈[)2，4时，x－2∈[)0，2，∴f()x－2＝－()x－22＋2()x－2＝－x2＋6x－8，∴f(x)＝13f()x－2＝13()－x2＋6x－8，x∈[)2，4.当x＝3时，a2＝f(3)＝13；当x∈[)4，6时，x－4∈[)0，2，目录∴f()x－4＝－()x－42＋2()x－4＝－x2＋10x－24，∴f(x)＝13f()x－2＝132f()x－4＝132(－x2＋10x－24)，x∈[)4，6.当x＝5时，a3＝f()5＝132；…∴数列{an}是首项为1，公比为13的无穷递减等比数列．limn→∞Sn＝11－13＝32.目录【名师点评】本题主要考查分段函数解析式的求法及各自的最值，归结为无穷递减等比数列各项和的求法，较好地考查了学生的推理能力，题目难度较大，属高档题．【答案】D