【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件：3.1 数列的概念(共34张PPT)

第三章数列目录2014高考导航考纲解读1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.§3.1数列的概念本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考向瞭望把脉高考知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理1．数列的概念按一定次序排列的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做这个数列的____．数列可以看作一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列________．它的图象是______________．数列{an}的第n项an与项数n的关系若能用一个公式an＝f(n)给出，则这个公式叫做这个数列的__________．项函数值一群孤立的点通项公式目录2．数列的性质(1)有界性：若存在正数A，使得|an|≤A，则称数列{an}是有界数列．(2)单调性递增数列：数列{an}中，恒有__________________；递减数列：数列{an}中，恒有__________________；摆动数列：数列{an}中，有时________,有时anan＋1(n∈N*);常数列：数列{an}中，恒有__________________．(3)周期性：若存在正整数k，使得an＋k＝an，则{an}是周期数列，且周期为k.anan＋1an＋1an(n∈N*)an＋1an(n∈N*)an＝an＋1(n∈N*)目录3．数列的前n项和数列的前n项和Sn＝a1＋a2＋…＋an，且下列关系成立an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2.4．递推公式如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的_________公式．递推目录思考探究1．{an}与an有何关系？提示：{an}与an是两个不同的概念，{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，而an只表示数列{an}中的第n项．2．一个数列的通项公式是否唯一？提示：不一定，有的数列通项公式唯一，有的数列有多个通项公式，有的数列没有通项公式．目录课前热身答案：C1．(教材改编)数列32，－83，154，－245，…的一个通项公式是()A．an＝n2－1nB．an＝n＋12－1n＋1C．an＝(－1)n＋1n2＋2nn＋1D．an＝(－1)nn＋12－1n＋1目录2．已知a0＝1，a1＝3，a2n－an－1·an＋1＝(－1)n(n∈N*)，则a3等于()A．33B．21C．17D．10答案：A目录3．(2011·高考江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝()A．1B．9C．10D．55解析：选A.∵Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，∴S1＝1.可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1.即当n≥1时，an＋1＝1，∴a10＝1.目录答案：3n＝14n－2n≥24．如果数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋1，则an＝__________.目录5．在数列{an}中，a1＝1，a2n－an＋1－1＝0，则此数列的前2014项之和为________．答案：－1005目录考点探究讲练互动考点突破考点1由数列的前几项写数列的通项公式据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想．目录例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)0.8,0.88,0.888，…；(2)12，14，－58，1316，－2932，6164，…；(3)32，1，710，917，…；(4)0,1,0,1，….目录【思路分析】(1)循环数借助于1－110n来解决．(2)正负号交叉用(－1)n或(－1)n＋1来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错．(3)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系．(4)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法解决．目录【解】(1)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴an＝89(1－110n)．(2)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，至此原数列已化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴an＝(－1)n·2n－32n.目录(3)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，∴可得它的一个通项公式为an＝2n＋1n2＋1.(4)an＝0n为奇数1n为偶数，又0＝12－12，1＝12＋12，∴也可为an＝1＋－1n2.若考虑到三角函数的特征，此数列的通项公式也可以写为an＝sin2n＋1π2或an＝1＋cosnπ2(n∈N*)．目录【领悟归纳】(1)借助(－1)n或(－1)n＋1来解决项的符号问题．(2)当项为分式时，可进行恰当的变形，寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系．(3)对较复杂的数列通项公式的探求，可借助熟知的数列，如{n2}，{1n}，{2n}，{(－1)n}等以及等差数列、等比数列和其他方法来解决．目录考点2由数列递推关系求通项公式已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大致分两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系式，用代数的一些变形技巧整理变形，然后采用累差法、累乘法、迭代法、换元法或转化为基本数列(等差或等比数列)等方法求得通项．目录例2【思路分析】(1)转化后利用累乘法求解．(2)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)．根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．(1)a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)；(2)Sn＝3n－2.目录【解】(1)∵an＝n－1nan－1(n≥2)，∴an－1＝n－2n－1an－2，…a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n.(2)∵Sn＝3n－2，∴当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2－(3n－1－2)＝2×3n－1.显然n＝1时不适合上式．∴an＝1n＝1，2×3n－1n≥2，且n∈N*.目录【误区警示】an与Sn的关系式an＝Sn－Sn－1的使用条件是n≥2，求an时切勿漏掉n＝1的情况．目录跟踪训练求下列通项公式：(1)a1＝1，an＝an－1＋n－1(n≥2)；(2)Sn＝12×3n＋1－32.目录解：(1)由an－an－1＝n－1(n≥2)，可得a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，…an－an－1＝n－1，以上n－1个等式相加得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)，∴an＝1＋nn－12(n∈N*)．(2)∵Sn＝12×3n＋1－32，当n＝1时，S1＝a1＝12×9－32＝3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12×3n＋1－32－(12×3n－32)＝3n，适合n＝1.∴an＝3n.目录例3考点3数列的性质数列可看成自变量为N*(或其有限子集{1,2，…，n})的函数，函数的某些性质如单调性、最值等，数列同样适用．若数列{an}的通项公式为an＝5·(25)2n－2－4·(25)n－1，数列的最大项为第x项，最小项为第y项，求x＋y的值．【思路分析】观察到(25)2n－2与(25)n－1是平方关系，故考虑结合二次函数的知识解决问题．目录【解】∵an＝5·(25)2n－2－4·(25)n－1＝5·[(25)n－1]2－4·(25)n－1，∴设t＝(25)n－1，∵n－1≥0，∴0t≤1.∴an＝5t2－4t＝5(t－25)2－45，∴当t＝25时，5t2－4t有最小值－45，此时，t＝(25)n－1＝25，n＝2∈N*，当t＝1时，5t2－4t有最大值．此时，t＝(25)n－1＝1，n＝1∈N*，∴x＝1，y＝2，x＋y＝3.目录【思维总结】由于数列可以视为一类特殊的函数，所以在研究数列问题时，可以借助研究函数的许多方法进行求解．本题正是利用了换元的思想，将数列的项的最值问题转化为二次函数的最值问题，但必须注意的是，数列中的项，即n的值只能取正整数，从而换元后变量t的取值范围也相应地被限制．目录方法技巧方法感悟1．已知递推关系求通项这类问题要求不高，主要掌握由a1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及“化归法”、“累加法”等．常见的解题规律有：(1)an－an－1＝f(n)满足一定规律时，可有an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1.目录(2)anan－1＝g(n)满足一定条件时，可有．an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1.(3){an}为周期数列，则周期为T(T为正整数)时，an＝an＋T，可将an转化为a1，a2，…，aT处理．2．数列是特殊的函数，研究数列性质时，可借用函数的性质．目录失误防范1．数列中项的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列的项和数集中元素的异同．数列可看作是一个定义域为正整数集或它的有限子集{1,2，…，n}的函数，因此在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性．切记，两者不能混为一谈．2．数列由Sn求an时，要注意检验n＝1的情况是否适合an＝Sn－Sn－1；a1由S1来求，不能由an＝Sn－Sn－1来求．目录考向瞭望把脉高考命题预测数列的概念在高考试题中很少独立命题，但是，数列的递推关系、归纳、猜想的数学推理思想会渗透在数列的试题之中，如猜想通项公式、单调性、周期性，进一步求数列中的某些项或和，近几年的高考中，涉及到数学史中的一些数列(数阵)等，多数都用到Sn与an的递推关系．2012年的高考中，上海卷是由递推关系结合周期性求特定项的和．预测2014年的高考中，以递推归纳为主，出现新的递推模型，考查数列的性质及计算．目录典例透析例(2011·高考浙江卷)若数列nn＋423n中的最大项是第k项，则k＝________.【解析】由题意知kk＋423k≥k－1k＋323k－1，kk＋423k≥k＋1k＋523k＋1，解得10≤k≤1＋10.∵k∈N*，∴k＝4.【答案】4目录【名师点评】本题只要理解数列的最大项满足ak≥ak－1ak≥ak＋1，列出不等式组求解即可，该题给出了数列特殊项的求法，难度较大．