【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件：3.5 数列的综合应用(共29张PP

§3.5数列的综合应用本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考向瞭望把脉高考知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理1．等差、等比数列的综合应用(1)若{an}是等差数列，则数列{can}(c0，c≠1)为_____数列；(2)若{an}为正项等比数列，则数列{logcan}(c0，c≠1)为_______数列；(3)若{an}既是等差数列又是等比数列，则数列{an}为___________．等比等差非零常数列目录2．与银行利率相关的几类模型(1)银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝___________．(2)银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y＝___________.(3)产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y＝______________.(4)分期付款模型a为贷款总额，r为月利率，b为月等额本息还款数，n为贷款月数，则b＝r1＋rna1＋rn－1.a(1＋xr)a(1＋r)xN(1＋p)x目录课前热身解析：选D.要使所有同学的路程总和最小，则应使放树苗的树坑两边的树坑尽量保持一样多．由于共有20个树坑，所以树应放在第10或第11个树坑旁．1．(2011·高考陕西卷)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为()A．①和⑳B．⑨和⑩C．⑨和⑪D.○10和⑪目录2．若等差数列{an}和等比数列{bn}的首项均为1，且公差d0，公比q1，则集合{n|an＝bn}(n∈N*)的元素最多有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B目录3．某厂在2002年底制订生产计划，要使2014年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为()A．4112－1B．2112C．4111－1D．2111－1答案：A目录答案：±424．Sn为等差数列{an}的前n项和，S9＝－36，S13＝－104，等比数列{bn}中，b5＝a5，b7＝a7，则b6等于__________．5．已知数列{an}中，a1＝2，点(an－1，an)(n1且n∈N)满足y＝2x－1，则an＝__________.答案：2n－1＋1目录考点探究讲练互动考点突破考点1等差数列与等比数列的综合问题对于同一个数列，某些项在一定的条件下可以成为等比数列，另一些项在特定条件下也可以成为等差数列，寻找这个数列项之间的关系是解题的关键．目录例1已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n，数列{bn}满足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)求数列{bn}的通项公式bn；(3)若cn＝an·bnn，求数列{cn}的前n项和Tn.【思路分析】(1)可借助an＝Sn－Sn－1(n≥2)求得．(2)可考虑用累加法求bn.(3)求出an，bn，可求cn，因{an}为等比数列，{bn}为二阶等差数列，所以{cn}为一阶等差数列，一阶等比数列对应项的积组成的数列，可考虑用错位相减法求和．目录【解】(1)∵Sn＝3n，∴Sn－1＝3n－1(n≥2)．∴an＝Sn－Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1(n≥2)．当n＝1时，2×31－1＝2≠S1＝a1＝3，∴an＝3，n＝1，2×3n－1，n≥2.(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)，∴b2－b1＝1，b3－b2＝3，b4－b3＝5，…，bn－bn－1＝2n－3.以上各式相加得bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)＝n－11＋2n－32＝(n－1)2.∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n.目录(3)由题意得cn＝－3，n＝1，2n－2×3n－1，n≥2.当n≥2时，Tn＝－3＋2×0×31＋2×1×32＋2×2×33＋…＋2(n－2)×3n－1，∴3Tn＝－9＋2×0×32＋2×1×33＋2×2×34＋…＋2(n－2)×3n，相减得－2Tn＝6＋2×32＋2×33＋…＋2×3n－1－2(n－2)×3n.∴Tn＝(n－2)×3n－(3＋32＋33＋…＋3n－1)＝(n－2)×3n－3n－32＝2n－53n＋32.∴Tn＝－3，n＝1，2n－53n＋32，n≥2，∴Tn＝2n－53n＋32(n∈N*)．目录【误区警示】(1)运用an＝Sn－Sn－1要注意n≥2，验证n＝1时，是否满足，若不满足要分段书写．(2)错位相减法求和一定要注意格式和项数．目录考点2数列在实际中的应用数列来源于生活也反作用于生活,解决这一类问题的关键是要通过分析问题中的量及这些量的关系,尤其如“每年(月)比上一年(月)…”这些反映数量之间的递推关系的语言,并把生活语言借助符号转化为数列语言,从而将实际问题转化为数列问题.目录例2有关单位决定投入资金进行生态环境建设，并以此继续发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年增加15，本年度该项旅游收入估计为400万元，由于该项建设对该项旅游业的促进，预计今后的旅游收入每年会比上年增加14.假设本年度为第一年，求10年内总投入和该项旅游业的总收入各为多少万元？((65)10≈6.19，(54)10≈9.31)．【思路分析】每年的投入资金是以800为首项，公比为(1＋15)的等比数列，求和S10.每年的旅游总收入以400为首项，公比为(1＋14)的等比数列，求和T10.目录【解】第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1＋15)万元，…，第n年投入为800×(1＋15)n－1万元，所以，10年内的总投入为S10＝800＋800×(1＋15)＋…＋800×(1＋15)10－1＝800×[1－6510]1－65＝4000×[(65)10－1]＝4000×5.19＝20760(万元)．目录第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1＋14)万元，…，第n年旅游业收入为400×(1＋14)n－1万元，所以，10年内的旅游总收入为T10＝400＋400×(1＋14)＋…＋400×(1＋14)10－1＝1600×[(54)10－1]＝13296(万元)．所以10年内总投入20760万元，总收入为13296万元．【思维总结】本题是求两个等比数列的前10项和．目录考点3数列的综合问题数列的综合问题主要有以下两类：一是已知函数的条件，利用函数的性质图象研究数列问题，如恒成立、最值问题等．二是已知数列条件，利用数列的范围、公式、求和方法等知识对式子化简变形，从而解决函数问题．目录已知数列{an}的前n项和Sn＝43(an－1)，数列{bn}的前n项和Tn＝72n2＋132n，n∈N*.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若对于任意的n∈N*，有M·an≥bn成立，求实数M的取值范围．例3【思路分析】(1)利用Sn＋1－Sn求an，Tn－Tn－1求bn.(2)M·an≥bn转化为M≥bnan，求bnan的最大值．目录【解】(1)∵Sn＝43(an－1)，n∈N*，∴Sn＋1＝43(an＋1－1)．∴Sn＋1－Sn＝43(an＋1－an)，即an＋1＝43(an＋1－an)，∴an＋1＝4an，n∈N*.又a1＝S1＝43(a1－1)，所以a1＝4.∴{an}是首项为4，公比为4的等比数列．从而{an}的通项公式是an＝4n，n∈N*.当n＝1时，b1＝T1＝10，当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝7n＋3，n＝1也适合这个公式，故bn＝7n＋3，n∈N*.目录(2)由(1)知，对于任意的n∈N*，有M·an≥bn成立，等价于M≥7n＋34n对任意的n∈N*成立，等价于M≥(7n＋34n)max.而7n＋1＋34n＋17n＋34n＝7n＋1047n＋3，由于7n＋10－4(7n＋3)＝－21n－20，则7n＋1047n＋31对任意的n∈N*成立，∴{7n＋34n}是单调递减数列．∴(7n＋34n)max＝7×1＋341＝52，故实数M的取值范围是[52，＋∞)．目录【思维总结】本题的难点是对M·an≥bn的转化及的单调性的判定．本题的解法仍然采用了“不等式恒成立”问题的常用方法求最值．目录方法技巧1．等差、等比混合问题，一般根据其中一个数列设定未知量，根据另一个数列建立等式关系．2．数列的综合问题的四个转化(1)非等差、等比数列与等差、等比数列的转化．(2)函数与数列的转化．(3)不等式与数列的转化．(4)实际问题与数列的转化．方法感悟目录失误防范1．将实际问题转化为数列问题时应注意：(1)分清是等差数列还是等比数列；(2)分清是求an还是求Sn，特别要准确地确定项数n.2．解题过程中，若出现an－1或Sn－1时，要注意对n＝1的验证．目录考向瞭望把脉高考命题预测从近几年的高考试题来看，主要是以等差、等比数列为载体，与函数、方程、不等式、解析几何相融合的解答题，每年试题较新，难度中档偏上，个别省份为数列应用题或者与极限综合．在2012年高考中，课标全国卷给定递推关系求和，四川卷考查了取整函数与数列的结合，大纲全国卷、广东卷则是数列与不等式结合．预测2014年高考，试题以主观题出现，关注“数列与不等式、函数、解析几何”的综合，综合考查学生运用数列知识解决综合问题的能力．目录规范解答例(本题满分13分)(2011·高考湖南卷)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式；(2)设An＝a1＋a2＋…＋ann，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新．目录【解】(1)当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列，an＝120－10(n－1)＝130－10n；(2分)当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，34为公比的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×34n－6.(4分)因此，第n年初，M的价值an的表达式为an＝130－10n，n≤6，70×34n－6，n≥7.(6分)目录(2)证明：设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝120－5(n－1)＝125－5n；当n≥7时，由于S6＝570，故Sn＝S6＋(a7＋a8＋…＋an)＝570＋70×34×4×1－34n－6＝780－210×34n－6，(10分)An＝780－210×34n－6n.易知{An}是递减数列，又A8＝780－210×3428＝82476480，A9＝780－210×3439＝76799680，所以须在第9年初对M更新．(13分)目录【名师点评】本题考查利用数列知识解决实际问题，既考查了等比、等差数列的前n项和，又考查了分段数列和分类讨论思想，对文科学生难度偏大．