【优化方案】2014届高考数学一轮复习 3.4 数列求和课件

§3.4数列求和本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考向瞭望把脉高考知能演练轻松闯关教材回顾夯实双基基础梳理数列求和的常用方法：1．公式法：很多求和问题可采用等差数列或等比数列的求和公式：等差：Sn＝____________＝_________________；等比：Sn＝____________________________.na1＋an2na1＋nn－12dna1q＝1a11－qn1－qq≠1并熟记以下几个公式：①∑nk＝1k＝___________②∑nk＝1(2k－1)＝_____③∑nk＝1k2＝___________________2．倒序相加法：如果一个数列{an}中，与首、末两项等距的两项之和等于首、末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为__________________．nn＋12n216n(n＋1)(2n＋1)倒序相加法3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用___________．4．分组转化法：把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，或把整个数列分成两部分，使其转化成等差或等比数列，这一求和方法称为_______________.5．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差．在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干项之和，这一求和方法称为裂项相消法．错位相减法分组转化法课前热身1．(教材改编)若数列{an}的通项公式an＝2n＋2n，则其前n项和为()A．2n＋n2＋nB．2n＋1＋n2－2C．2n＋1＋n2＋n－2D．2n＋n2＋n－2答案：C2．(2011·高考安徽卷)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝()A．15B．12C．－12D．－15解析：选A.∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.3．(2012·高考上海卷)设an＝1nsinnπ25，Sn＝a1＋a2＋…＋an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是()A．25B．50C．75D．100解析：选D.∵an＝1nsinnπ25，∴1≤n≤24时，sinnπ250，即a1，a2，…，a240；n＝25时，a25＝0；当26≤n≤49时，an＝1nsinnπ25＝－1nsinn－25π250，且|an|1n－25sinn－25π25＝an－25；当n＝50时，a50＝0.∴S1，S2，S3，…，S500，同理可知S51，S52，S53，…，S1000.∴在S1，S2，…，S100中，正数的个数为100.4．数列1，11＋2，11＋2＋3，…的前n项和Sn＝________.答案：2nn＋15．已知数列{an}，an＝－2[n－(－1)n]，则数列{an}的前10项和S10＝________.答案：－110考点探究讲练互动考点突破考点1分组转化法求和分组求和即把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化为等差、等比或常见数列，然后分别求和，再将所求和合并．例1求下面数列的前n项和．1＋1，1a＋4，1a2＋7，…，1an－1＋3n－2，…【思路分析】把原数列分为等差数列1,4,7，…，3n－2，与等比数列1，1a，1a2，…，1an－1的和的形式，分别求和．【解】前n项和为Sn＝(1＋1)＋(1a＋4)＋(1a2＋7)＋…＋(1an－1＋3n－2)＝(1＋1a＋1a2＋…＋1an－1)＋[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]，设S1＝1＋1a＋1a2＋…＋1an－1，当a＝1时，S1＝n；当a≠1时，S1＝an－1an－an－1，S2＝1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝3n－1n2.∴当a＝1时，Sn＝S1＋S2＝n＋3n－1n2＝3n＋1n2；当a≠1时，Sn＝S1＋S2＝an－1an－an－1＋3n－1n2.【思维升华】当所给数列既不是等差数列，也不是等比数列，在求和时，应仔细观察式子的结构特点，分组转化为常见数列或等差、等比数列求和．考点2倒序相加法求和这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法．也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．例2函数f(x)＝14x＋m(m0)，x1、x2∈R，当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝12.(1)求m的值；(2)已知数列{an}满足an＝f(0)＋f(1n)＋f(2n)＋…＋f(n－1n)＋f(1)，求an.【思路分析】(1)令x1＝x2＝12待定m.(2)利用f(0)＋f(1)＝12，倒序相加．【解】(1)令x1＝x2＝12，则2f(12)＝12，即22＋m＝12.∴m＝2.又∵当x1＋x2＝1时，f(x1)＋f(x2)＝14x1＋2＋14x2＋2＝4x1＋4x2＋44x1＋x2＋24x1＋4x2＋4＝12.综上，m＝2.(2)an＝f(0)＋f(1n)＋f(2n)＋…＋f(n－1n)＋f(1)，①an＝f(1)＋f(n－1n)＋f(n－2n)＋…＋f(1n)＋f(0)．②①＋②整理得：即an＝n＋14.【思维总结】本题要从函数的性质来体现倒序相加求和法．考点3错位相减法求和一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．参考教材等比数列求和公式的推导．例3已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2.(1)判断{an}是否为等差数列，并证明你的结论；(2)若bn＝2n，记cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.【思路分析】(1)用Sn公式特征判定用定义证明．(2){cn}的前n项和Tn用错位相减法．【解】(1){an}是等差数列，证明如下：∵a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，且n＝1时也适合此式，∴an＝2n－1，∴an＋1－an＝2(n∈N*)，即{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)可得cn＝an·bn＝(2n－1)·2n∴Tn＝(2×1－1)×21＋(2×2－1)×22＋…＋(2n－1)×2n①∴2Tn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－1)×2n＋1②①－②得－Tn＝2＋23＋24＋…＋2n＋1－(2n－1)×2n＋1＝2＋8×1－2n－11－2－(2n－1)·2n＋1＝2×2n＋1－6－(2n－1)·2n＋1，∴Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.【误区警示】①－②的运算过程中(2n－1)×2n＋1易写错符号.跟踪训练题设条件不变，若bn＝2n＋1,记cn＝anbn,求{cn}的前n项和Tn.解：∵bn＝2n＋1，∴cn＝anbn＝(2n－1)(2n＋1)＝(2n－1)·2n＋(2n－1)，∴Tn＝[1×2＋3×22＋…＋(2n－1)·2n]＋(1＋3＋…＋(2n－1)]，即Tn＝[1×2＋3×22＋…＋(2n－1)·2n]＋n2，①2Tn＝[1×22＋3×23＋…＋(2n－1)·2n＋1]＋2n2，②①－②得－Tn＝1×2＋23＋24＋…＋2n＋1－(2n－1)·2n＋1－n2＝2＋81－2n－11－2－(2n－1)·2n＋1－n2＝2·2n＋1－6－(2n－1)·2n＋1－n2，∴Tn＝(2n－3)·2n＋1＋n2＋6.考点4裂项相消法求和如果数列的通项公式可转化为f(n＋1)－f(n)形式，常采用裂项求和的方法．特别地，当数列形如{1anan＋1}，其中{an}是等差数列，可尝试采用此法．(2011·高考大纲全国卷)设数列{an}满足a1＝0且11－an＋1－11－an＝1.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1－an＋1n，记Sn＝∑nk＝1bk，证明：Sn1.例4【思路分析】(1)视11－an＋1，11－an为一整体，则由已知条件可知数列11－an为等差数列，易求an.(2)考虑用裂项相消法求和．【解】(1)由题设11－an＋1－11－an＝1，即11－an是公差为1的等差数列，又11－a1＝1，故11－an＝n.所以an＝1－1n.(2)证明：由(1)得bn＝1－an＋1n＝n＋1－nn＋1·n＝1n－1n＋1，Sn＝∑nk＝1bk＝∑nk＝11k－1k＋1＝1－1n＋11.【思维总结】在裂项过程中，要注意系数“配平”，常见的裂项方法有(1)1nn＋k＝1k(1n－1n＋k)；(2)1n＋k＋n＝1k(n＋k－n)；(3)12n－12n＋1＝12(12n－1－12n＋1)；(4)1nn＋1n＋2＝12[1nn＋1－1n＋1n＋2]；(5)Cm－1n＝Cmn＋1－Cmn；(6)n·n！＝(n＋1)！－n！.方法技巧1．数列求和，首先分析数列通项an的构成规律，再确定所用求和方法，前者不论怎样转化，最终都要用等差、等比数列的求和公式．2．分久必“和”：裂项相消法中，“裂项”是手段，“相消”是目的，所以应将每一项都“分裂”成两项之差，或“分裂”成一个常数与两项差的积．3．通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求Sn时，如果两相邻项的代数和为常数时可用“并项法”，此法往往要注意需按项数n的奇偶性讨论．方法感悟失误防范1．求和时，要对数列的项数作出准确判断，这易错．2．认“错”为美：用错位相减法求和过程中，在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．最后一项易写错符号．3．裂项相消法，裂项后在抵消时有的是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消时要注意规律性．不可盲目认为就剩下第1项和最后一项．考向瞭望把脉高考命题预测近几年的高考都涉及到数列求和，而且大多数是在解答题中出现．求和过程或求和方法本身的难度并不大，只是作为解答题的一步，然后与不等式等知识结合．在2012年的高考中，大纲全国卷考查了裂项相消法求和，江西卷、湖北卷以解答题的形式考查了等差、等比数列的综合问题，但难度都不大，四川卷则数列求和与函数进行了有机的结合．预测2014年高考会以常用的错位相减、分组转化、裂项相消法求和形式命题，注重对常用解法的考查．规范解答(本题满分12分)等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前2n项和S2n.例第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818【解】(1)当a1＝3时，不合题意；(2分)当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18，所以公比q＝3.故an＝2·3n－1.(5分)(2)因为bn＝an＋(－1)nlnan＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n[ln2＋(n－1)ln3]＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，(8分)所以S2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝2(1＋3＋…＋32n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n2n]ln3＝2×1－32n1－3＋nln3＝32n＋nln3－1.(12分)【名师点评】本题考查了等比数列的通项公式，前n项和公式，利用拆项分组法求和的方法和对数的运算等基础知识，考查了分类讨论思想，归纳推理能力及运算求解能力．求数列{bn}的前n项和时，由于含有(－1)n，因此要对n按奇数、偶数两种情况讨论．