1.2导数的运算法则

导数的运算法则:一可以直接使用的基本初等函数的导数公式11:()'0;2:()';3:(sin)'cos;4:(cos)'sin;5:()'ln(0);6:()';17:(log)'(0,1);ln18:(ln)';nnxxxxaCxnxxxxxaaaaeexaaxaxx公式公式公式公式公式公式公式且公式练一练：（1）下列各式正确的是（）6551)'.(cos)'.(sinsin)'cos.(cos)'.(sinxxDxxCxxBA（为常数）C（2）下列各式正确的是（）3ln3)'3.(3)'3.(10ln)'.(log1)'.(logxxxxaxaDxCxBxAD______)1(______;)(,)()3(''等于等于则fxfexfxxee'(5)(1)________xoga21(4),(3).yfx已知求227导数的运算法则:法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即:()()()()fxgxfxgx法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数,即:()()()()()()fxgxfxgxfxgx法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数,再除以第二个函数的平方.即:2()()()()()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx由法则2:()'()()()CfxCfxCfxCfx例1：求下列函数的导数：(1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(3)y＝x－1x＋1；(4)y＝x·tanx.解：(1)y′＝(x5－3x3－5x2＋6)′＝(x5)′－(3x3)′－(5x2)′＋6′解：(2)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝5x4－9x2－10x.＝4x(3x－2)＋(2x2＋3)·3解：(2)法二：∵y＝(2x2＋3)·(3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6，＝18x2－8x＋9.∴y′＝18x2－8x＋9.题型一：导数公式及导数运算法则的应用解：(4)y′＝(x·tanx)′＝(xsinxcosx)′＝xsinx′cosx－xsinxcosx′cos2x＝sinx＋xcosxcosx＋xsin2xcos2x＝sinxcosx＋xcos2x.(3)y＝x－1x＋1；(4)y＝x·tanx.例2：求下列函数的导数(1)y＝x(x2＋1x＋1x3)；(2)y＝exsinx；(3)y＝x＋3x2＋3.解：(1)∵y＝x(x2＋1x＋1x3)＝x3＋1＋1x2，解：(2)y′＝(exsinx)′＝(ex)′sinx＋ex(sinx)′∴y′＝3x2－2x3.解：(3)y′＝(x＋3x2＋3)′＝x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′x2＋32＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx)．＝x2＋3－x＋3×2xx2＋32＝－x2－6x＋3x2＋32.二已知可导函数y=f(u)，且u=g(x)则复合函数y=f(g(x))的导数'''.xxuyyu即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积322224(1)2312(2);(3);1(4)tan;(5)(23)1;1(6);(7);yxxyxxxyxyxyyxyxxxx答案:2(1)32;yx2221(3);(1)xyx21(4);cosyx326(5);1xxyx2314(2);yxx54(6);yx3(7);2yx练习:1求下列函数的导数:2函数y=sin(x2+1)＋cos3x的导数是（）（A）y’=cos(x2+1)－sin3x（B）y’=2xcos(x2+1)－3sin3x（C）y’=2xcos(x2+1)+3sin3x（D）y’=cos(x2+1)+sin3xB3．函数y=3sin2x＋l在点(π，1)处的切线方程是.y=1例3：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．解：因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，所以a＋b＋c＝1.y′＝2ax＋b，又曲线过点(2，－1)，曲线过点(2，－1)的切线的斜率为4a＋b＝1.由a＋b＋c＝1，4a＋b＝1，4a＋2b＋c＝－1，所以4a＋2b＋c＝－1.所以a、b、c的值分别为3、－11、9.解得a＝3，b＝－11，c＝9.例4：已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．解：(1)y′＝2x＋1.题型二：导数的综合应用∴直线l1的方程为y＝3x－3.设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.因为l1⊥l2，所以直线l2的方程为y＝－13x－229.则有2b＋1＝－13，b＝－23.(2)解方程组y＝3x－3，y＝－13x－229，得x＝16，y＝－52.所以直线l1和l2的交点坐标为(16，－52)．l1、l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)、(－223，0)．所以所求三角形的面积为S＝12×253×|－52|＝12512.例5：点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．解：根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，∵y′＝(ex)′＝ex，即y′|x＝x0＝1.∴ex0＝1，得x0＝0，代入y0＝ex0，得y0＝1，利用点到直线的距离公式得距离为22.即P(0,1)．例6.已知曲线S1:y=x2与S2:y=-(x-2)2,若直线l与S1,S2均相切,求l的方程.解:设l与S1相切于P(x1,x12),l与S2相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于则与S1相切于P点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即y=2x1x-x12.①,2,1xyS对于与S2相切于Q点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+x22-4.②),2(2,2xyS因为两切线重合,121122122222(2)02.420xxxxxxxx或若x1=0,x2=2,则l为y=0;若x1=2,x2=0,则l为y=4x-4.所以所求l的方程为:y=0或y=4x-4.例2求证：可导的奇函数f(x)的导函数f’(x)是偶函数．证明：∵f(x)是奇函数，∴对f(x)定义域D内任一个x，有－x∈D,且有f(－x)=－f(x)．分别对上式左、右两边求导：[f(－x)]’=f’(－x)·(－x)’=－f’(－x)，[－f(x)]’=－f’(x)，∴－f’(－x)=－f’(x)，即f’(－x)=f’(x)，∴f’(x)是偶函数．